（3）深入了解形态成分分析的算法，通过偏微分的数学模型和变分的方式，对其进行求解。因为解是唯一、存在且规则的，面对繁杂的计算过程，将图像进行划分，每一部分分别通过查阅资料，寻找到与之对应的字典，简化计算过程，通过算法，将公式结果简化为最稀疏、最优的解。

（4）下载Matlab2012b版，编写程序并运行，观察程序是否能正常运行，若不能寻找错误；最后观察实验最终图像，与最后结果是否一致。

（5）完成整个流程，书写论文。

2 稀疏表述和形态成分分析

2.1 稀疏表示的基础

根据不同的情况范围，通过曲波变换、离散余弦，由多样信号进行处理和使用，从多尺度的角度为基础并以此展开拓展与开发。该优点是能够由稀疏系数来无限接近源信号，这就是作为稀疏信号表示的基础理论原因。

2.2 稀疏表示简介

所谓的图像稀疏表示，指的是图片尽可能多或完全由稀少的一组Atom（原子）的线性结构组合表示，并且由其中的每个原子构成一个过完备字典。在此情况下还有前提条件，在这个过完备字典中，每个原子的维数要小于其个数。所以可知，要是对此没有一些限制，那么在这个过完备字典里所对应的图像表示则不是唯一的。然而在一定的情况下，唯一性是稀疏性的必要条件。那么呈现在字典下的稀疏表现图像由小波、傅立叶等变换的一种形式展开，即是能够发现一个具有特殊结构信息的字典，并且用其字典上的稀疏和紧密来表示源图像[3][4]。

   根据已找到的文献资料可推断：

   若有y属于R的n次可以用向量表示某一个图片信号，过完备字典为D且D属于R的次方，D有k个原始列向量，在这k个原始列向量中并不是全是正交的，亦可不是同一函数族。这些原始信号即可稀疏表示y属于R的n次这个向量，用公式更为准确的表述为。a属于R的k次方是稀疏表示，在D（字典）下关于y的图像信号。在D为满秩且n<k的情况下，对于任何给定的实信号，通过其线性相关性，皆可以从库中找到n个原子进行线性表达。因为a（图像分解系数）并不唯一，所以该稀疏表示有无数解，需要对此添加额外条件来进行限制，从众多的非零稀疏解中，找到最为稀疏的那个（该解最为接近原信号的特征）[5][6]。

一个好的字典不仅可以约束最后求得的解的个数，还能大大简化算法中的计算量，得到最后较为精确的解。图像的结构是由字典中的原子来表示，假如匹配得当，就能简单容易的对图像进行稀疏表示，所以字典的设计就变得较为重要。对于较为稳定的信号，用Fourier字典是最佳表示，但在实际应用中大多数信号

都是不稳定的，对于这类信号一开始的最优处理是小波分变换，但由于它的各向同性的特点，就缺乏对图片的各向异性的表述。为此，各个学者开始寻找处理的方法，经过不断的努力与探索，人们找到可以用几何多尺度来处理，不仅具有各向异性的特点，还有更高的准确度[7][8]。

要想使用几何多尺度分析，从基函数来说，要满足以下应具备的条件：

（1）局部时频，将空间和时频划分，在每个分区里，即局部进行原子的表示方法。

（2）多分辨率，多图像进行多尺度分析，分辨率由粗到细持续提高，刻画图像结构的不同尺度。

（3）多方向性，原子的精确方向分辨率和多方向性，可以用来分析组成局部地区不同方向的几何构成。

（4）各向异性，支撑原子的区域不仅仅是长方形，还有各类相匹配的形状[9]。

无论是几何多尺度还是正交都是只能表述有一定特性的结构构造，而自然图片是一种复杂结构，其中包含多种形态成分，所以仍存在有一定缺陷需完善。过完备稀疏字典不仅提高了系统的稳定，还减少了噪音对其的干扰效果，因此该字典的选择极为重要。如今选择方式大致以下四种：