1.2  庞加莱光束概述

随着当代激光技术的持续发展，晶体中的光学现象已经得到充分的注意。晶体空间是指光波空间被偏振化。当我们的研究关系到光波偏振态问题的时候，描述光场就要采用矢量波。平面波的数学描述方法中最好的是运用琼斯矩阵，因为琼斯矩阵包含了偏振态的全部信息。在这个基础上，光学理论中还有许多其他描述偏振态的方法，其中有一种就是庞加莱球表象。除了振幅之外，利用庞加莱球表象讨论单色光波的偏振态问题，运算简便、易于观察。

庞加莱光束具有将横向空间坐标与偏振状态相关联的空间模式，偏振态可以沿着一个坐标变化。例如，在径向矢量光束中，线偏振状态沿角坐标变化，使得任何点处的偏振方向平行于径向。极化状态可能取决于两个横坐标。 这种情况，首先被称为完整的庞加莱光束，其中极化状态在角度和径向坐标上都变化，导致具有所有极化状态的横向模式，如庞加莱球体所示。一般来说，庞加莱和矢量模式是空间和极化模式的不可分割的叠加。 过去在矢量光束上的工作涉及使用具有正交线性偏振的一阶艾尔米特-高斯（Hermite-Gauss）模式的叠加或拉盖尔-高斯（Laguerre-Guass）模式正交圆偏振。两种类型的结构涉及使用干涉仪来组合两个光束。 用其他方法产生矢量光束时均涉及到激光腔元件、外部电光、非线性元件等。矢量光束的应用已经被限制在最简单的模式——径向或方位角（线性偏振垂直于径向），用于带电粒子加速度或用光学镊子操纵。如本文所述，对庞加莱模式提供的更多种极化模式的探索有望在光学操作和不均匀介质的拓扑诊断中有更多的应用。

庞加莱光束携带极化奇点，这些是空间中的矢量场的椭圆形位错点，在这种情况下是电磁场。近来有许多关于通过不均匀双折射介质通过光产生和测量极化奇点的研究。最近的报道通过生产庞加莱光束来定制偏振奇异性分析。通过庞加莱光束，我们可以通过在实验室中研究这些拓扑特征。

1.3  庞加莱球描述光的偏振态的方法

当单色平面波沿z轴传播时，可以表示为

其中v代表这个单色光的频率。 代表位相差， ， 、 代表振幅。这三个量是描述该光波偏振的常量，振幅与位相差都跟时间t无关。在数学上，斯托克斯曾经为了方便讨论偏振态，把它们用四个参量来表征，这四个实数参量是用上述三个常量进行恰当组合构成的。这四个参量分别是：

这四个参量中有三个是独立的，并且它们满足下面的等式：

上式表示了这个光波的强度。

S1、S2、S3三个量作为正交轴可以作出一个单位球面，球面上一点P就可以用来表示一定强度的单色光波。设这个点P的经度是 ，纬度是2x，（ ，x）称为庞加莱球的角量，它可以用来描述单色光波的偏振态，是有着特定意义的两个重要参量。那么我们有如下关系

庞加莱球就是这个半径S0是单位1的球面。

椭圆偏振态可以用庞加莱球面上任意一点P（S1，S2，S3）来表示。直线偏振光都处于庞加莱球的赤道上，并且伴随着经度增加，振动平面不断旋转。同时，庞加莱球的北极点表征右旋圆偏振光，相应地南极点就表征左旋圆偏振光。