将(2-10)的下式全部同乘m，即可将下式带入上式将ml(d^2θ)/(d^2t)消去，可得方程：

M(d^2x)/(d^2t)-mgθ+μdx/dt=F(211)

再将(2-10)的上式全部同乘（M+m），将上式带入下式将(d^2x)/(d^2t)，即得：

Ml(d^2x)/(d^2t)+F+μldx/dt=(M+m)glθ(212)

模型设计及分析

为了分析起重机的特性必须建立一个可靠的数学模型并加以验证，所以在得出微分方程后必须将其以空间矩阵的方式分析，以此通过李雅普诺夫第一法、第二法验证方程的准确性。

所以可令x_1=x，x_2=dx/dt，x_3=θ，x_4=dx/dt；

{█((x_1) ̇=x_2@(x_2) ̇=-μ/Mx ̇+mg/Mθ+1/MF@(x_3) ̇=x_4@(x_4) ̇=-μ/Mx ̇+(M+m)g/Mθ-1/MlF)┤(213)

有

{█(X=AX+Bu@Y=CX)┤(214)

式中X=[x,x ̇,θ,θ ̇]，u=F，Y=[x,θ]^T；

所以可得矩阵：

A=[■(0&1&0&0@0&-μ/M&mg/M&0@0&0&0&1@0&μ/Ml&-((M+m)g)/Ml&0)]

B=[■(0@1/M@0@-1/Ml)]

C=[■(1&0&0&0@0&0&1&0)]

根据李雅普诺夫第一法：对于线性定常系统x ̇=Ax，x(0)=x_0，t≥0，有

（1）A的全部特征值为小于等于零的实部，同时零实部的特征值是A的最小多项式的单根，两者作为充分必要条件使得系统的平衡状态在李雅普诺夫的意义下稳定下来。

（2）A的所有特征值都为负实部时，作为充分必要条件使得系统的唯一平衡状态x_e=0是逐步稳定。

根据李雅普诺夫第二法：

对于定常系统x ̇=f(x)，t≥0，其中f(0)=0，假设有连续的一阶导数的标量函数V（X），V（0）=0，同时对数值不为零的X空间点存在下面条件：

V(x)为正定；

V ̇(x)为负定；

当‖x‖→∞时V(x)→∞。

则系统的原点平衡状态是大范围渐进稳定的。

V(x)为正定；

V ̇(x)为负半定；

对于任意x∈X，V ̇(x(t;x_0,0))≢0；

当‖x‖→∞时V(x)→∞。

因此整个系统的原点的平衡状态是通过大范围逐步稳定下来的。

针对定常系统来分析，假设有连续的一阶导数的标量函数V(x)（其中V(0)=0），和围绕原点的域Ω，使得对于一切t≥t0满足如下条件：

V(x)为正定；

V ̇(x)为正定；

则系统平衡状态不稳定。

对于实际的起重机的参数缩放一定比例后作为参数带入矩阵中。M=1，m=3，l=1，μ=0.2，g=9.8，将所有矩阵及其参数输入MATLAB进行计算

可得到矩阵：

A=[■(0&1.0000&0&0@0&-0.2000&29.4000&0@0&0&0&1.0000@0&0.2000&-39.2000&0)]

B=[■(0@1@0@-1)]

C=[■(1&0&0&0@0&0&1&0)]

通过eig（A）命令可以得出矩阵的特征值：

eig(A)

ans=

0.0000+0.0000i

-0.0500+0.0000i

-0.0750+6.2599i

-0.0750-6.2599i

通过计算出的特征值可以得知有一个为0的特征值，其余的特征值均存在一个负实部。由此可知简化后得到的的系统存在震荡，但是由于空气阻力的存在，系统总会达到一个稳定的状态，这与实际的情况也是相符合的。

为了分析模型系统的可控性与可观性，建立系统的可控性矩阵和可观性矩阵。