小波分析在处理原始信号时，运用缩放和平移的方法，进行多尺度的细化分析，可以自动调整并适应不稳定的时频信号进行细节处理，从而专注于信号的任何细微变化，能应用于不合适傅立叶变换的许多困难问题。

很多研究小波分析的数学家认为，小波分析是数学研究的一个新的方向，它是样条分析、傅立叶分析、泛函分析和数值分析等的综合延伸；信号处理科学家认为，小波分析是在信号处理中多分辨分析方法的一种新技术[1]，它在数据压缩、趋势预测、信号处理、图形匹配、计算机图形学等方面的研究都产生了具有科学和实际价值的影响。

在19世纪80年代末，小波分析才被提出，法国工程师J. Morlet给出了最初的反演公式，然而在当时的数学界当中并没有引起太多波澜。在1986年，数学家Y. Meyer构创出了第一个可用的小波基函数，然后与数学家S.Mallat协作研究出了构造小波基函数的标准方法--多尺度分析，小波分析从这个时候得到数学家们的关注。由比利时数学家I. Daubechies编写的著名的讲义《小波十讲》，在推广小波分析方面发挥了非常重要的作用[2]。

作为能同时表征时域和频域细节的分析工具，小波变换理论非常适合应用于图像处理中。因为数字图像可以看成二维或三维的信号，所以，小波变换在图像处理领域得到充分的应用。当前小波变换已经被运用到图像处理的包括图像的增强、复原、压缩、分割等几乎所有方面。然而小波变换的理论研究还没有到达很完善的水平，在一些实际的应用也有待改进和完善；另一方面也不断地发现一些关于小波分析的新理论和新应用。

二 小波分析产生背景

2.1傅立叶变换(FT)

原始信号中一些有用的信息是很难观察到的，这时就必须对原始信号进行转换以获取所需的信息。对信号做变换的方法有很多种，其中应用最为广泛的是傅立叶变换。

在19世纪初，法国的物理学和数学家Fourier，提出了这个众所周知的周期函数性质：任何连续的周期函数都可以用一组适当的正弦波叠加而成。然后这个概念被推广到非周期函数，接着是应用于周期性和非周期性的离散信号中。从那时起，傅立叶变换就成为了在计算机数字信号处理中卓有成效的数学工具。

傅立叶变换将原始信号转换为一系列适当的复指数函数。变换和逆变换的过程可以通过以下两个公式解释：

在公式（2-1）和（2-2）中， 为时间， 为频率， 为待分析的原始信号。 是信号的时域表示， 是信号的频域表示。公式（2-1）是傅立叶变换，公式（2-2）是傅立叶逆变换。

傅立叶变换将时频平面上的原始信号变换为频域信号，在频域上统计分析原始信号的频谱信息，简化了原始信号的频率分析工作，在对信号进行分解处理后，可以执行信号降噪，压缩和平滑等操作。

傅立叶变换是一种可逆的数学变换，即它可以把原始时域信号转换输出成频域信号，并且可以逆变换回时域信号，这两种信号都可以提供一些有用的信息。但是，在任一种变换中，两种类型的信息不能同时被观察到，即在傅立叶变换之后，在频域信号中观察不到时间信息，并且在逆变换后的时域信号中也观察不到频率信息。

傅立叶变换拥有很多重要的性质，例如卷积和能量守恒等，在信号处理中使用这些特性是有用和方便的。然而，傅立叶变换并不是完美的，从傅立叶变换后的方程中不含时间变量的事实可以看出，对于非平稳信号，频率在时域上的分布是不稳定的。例如在处理具有局部剧烈变化的信号，傅立叶变换在这时候就不是一个可以胜任的分析工具。为了使傅立叶变换能同时表征信号的时域信息和频域信息，科学家们引入了窗口傅立叶变换，也称为短时傅立叶变换。