2.2短时傅立叶变换（STFT）

短时傅立叶变换和傅立叶变换之间的区别在于, 短时傅立叶变换是傅立叶变换的加窗版本。在短时傅立叶变换中，信号被均匀地细分为很多小段，细分的尺度足够到每个片段都可以被单独视为平稳的信号。此时就需要给出一个窗函数与分段的信号相乘，窗函数的宽度必须等于信号片段的宽度。以下是短时傅立叶变换的公式：

公式（2-3）中， 是时域上的原始信号， 是窗函数， 表示共轭。

如果窗函数宽度为 秒，那么这个公式一开始得到的结果是前面第一个 秒时间内，原始信号与窗函数相乘，再做傅立叶变换。接下来把窗函数平移到一个新的位置（假定分段信号为 秒），然后与信号做乘法，继而做傅立叶变换。不断重复这个过程，直到窗函数移动到信号的末尾时刻。

加窗傅立叶变换也有其自身的缺点。在开始时选定了一个窗函数，之后就不能用其他的窗函数，同时窗函数的形状也是不能改变的。用窄窗函数可以实现更高的时间分辨率，但因此引起的问题的是某些分段信号的频率分辨率会变差，宽窗函数也会面临窗口内信号不稳定的问题。频率分辨率差意味着无法准确知道信号中存在哪些频率分量，只知道哪些频段的存在。这与加窗的初衷并不完全一致。实际上，如果窗函数的宽度能够自动调整，在频率变化很快的地方使用窄窗口宽度，在频率变化很慢的地方则使用宽窗口宽度才是比较完美的办法。这时候就引出了小波变换，下面简单介绍小波变换的定义和在计算机中应用到的离散小波变换方法。

三 小波分析理论阐述

3.1连续小波变换（CWT）的定义

为了解决短时傅立叶变换（STFT）中因为窗函数形状不可变带来的问题，小波变换作为替代方法被提出来。小波变换和短时傅立叶变换使用同样的思想，将一个窗函数与分段的原始信号做乘法之后，再做积分。这个与信号做乘法的窗函数原型就是小波函数。

连续小波变换的公式定义如下：

公式（3-1）中，小波变换包含两个自变量 和 ，它们分别是尺度参数和平移参数。 是一个小波函数，称为母小波， 表示共轭，有许多函数可以用作母小波。被称为“母”是因为它是作为一个原型，通过改变尺度和平移参数来产生其他不同形状的窗函数。在小波变换中与信号做乘法的所有窗函数都是原型的尺度缩放和平移后产生的。

选定了一个母小波后，就可以从 计算。连续小波变换要计算与要处理的信号相关的所有对应 的值，尺度参数要么小于1，要么大于1。

为了便于说明，假设计算过程是从 开始，然后 值慢慢增加，即信号分析将从高频率开始，然后逐渐变为低频率。随着尺度参数 的增加，小波函数逐渐放大。从原始信号的开始时刻，即 ，窗口函数等于 的小波函数乘以信号，然后将其在原始信号的时间长度上做积分，积分结果再乘以常数 ，使得变换后的信号在任何尺度下都具有相同的能量，保证了能量归一化。最终结果得到的变换值，即是在 和 时的变换。换句话说，它是在时间-尺度上，时间 ，尺度 时的信号变换。然后， 时的小波函数平移到 时刻，得到在时间-尺度平面中时间 ， 处的信号变换。不断重复此过程直到窗函数到达信号的末尾。这时在时间-尺度平面上就得到一系列的点。

接下来，将 增加一点。要注意的这是一个连续的小波变换，因此 和 的增长应该是连续的。但通常我们是利用计算机来执行这个计算过程，由于计算机中的数据都是离散的，因此 和 计算的时候都会以小步长增长。对于所有 值，重复上述计算过程，对应的每一个 值都完成了计算时，所得的所有结果就是信号的连续小波变换。