（1）Thomas-Fermi模型

该模型将电子间的相互作用忽略，通过波动方程代替薛定谔方程的求解，虽然简化了问题的求解，但是仍有较大误差，需要进一步完善。

（2）Hohenberg-Kohn定理

这一定理说明电子在不考虑自旋反对称性的情况下，它的能量是粒子数密度函数 的唯一泛函。在粒子数不变的情况下，能量泛函在对粒子密度函数 取极小值，这个极小值就等于基态能量[12]。这一定理的证明阐述了电子的能量仅取决于粒子数密度，这一定理虽然已经很好的引出了密度泛函，但仍有很多因素需要进一步的考虑。

（3）Kohn-Sham方程

在Hohenberg-Kohn 定理中得到能量泛函  的表达形式如下：

  (2-3)

2-3式中电子的能量泛函由电子的势能泛函，动能泛函以及电子的交换关联泛函构成。W. Kohn  和 L. J. Sham将电子的动能项分为两部分，一部分为相互作用的动能项，另一部分为没有相互作用的动能项，这样的划分有利用将问题简化。我们用 表示无相互作用的动能泛函，针对较为复杂的多电子体系，电子间相互作用的动能泛函就可用总动能泛函减去无相互作用的动能泛函的差值来表示。

首先忽略电子间的相互作用，用 个单电子波函数 来构造密度函数，构造形式如下：

对于多电子系统，没有相互作用的动能泛函我们用如下形式表示：

之后我们利用拉格朗日乘子法可得到体系中单电子波函数的形式：

   式(2-4)、(2-6)、(2-7)称为Kohn-Sham方程[12]。密度泛函理论就是由该方程来实现多粒子体系的求解的。

（4）交换关联泛函

为了确定交换关联泛函，我们引入局域密度近似( Local  Density  Approximation,  LDA)，近似地将密度 看作在空间中连续，因此，交换关联泛函就可以用积分的形式表示如下：

交换关联泛函的解决意味着密度泛函理论可以正式应用到实际研究中了，具有了很大的现实意义，在应用过程中，我们发现LDA对半导体和绝缘体的带隙宽度以及对体系结构特性的计算有比较大的误差，后来又提出了一些更为准确适用的近似，例如，广义梯度近似。