2  有限元方法解决问题流程

2.1有限元法介绍

有限元法（Finite Element Method）可以解决力学或数学问题中带有特点的边界条件的偏微分方程的问题，一直以来有限元方法的发展方向是围绕这数值近似和离散化这两个核心点。而这些偏微分方程是在实际工程中解决固体力学与流体力学问题的基础条件。同时随着上个世纪开始的计算机技术的飞速发展，有限元方法也随之得到迅猛发展，所以二者的共同构发展也让现代计算机力学应运而生。[14-15]

1  “数值近似”

在有限元法被发明之前，由于当所有的物理问题中出现了偏微分方程的时候，需要得到答案就只能用传统的求解方法来得到答案。而这种方法不但对数学计算精度与准确性的要求很高，还对于一些理论上的假设要求很高。比如在有些实际的问题中需要设定一些假设问题。而这些假设与实际工程问题中所呈现的完全不同，并且只要工程问题更加困难一点解析的获得难度就很大，或者即使得到解析其答案误差也是非常大的并不可取。而有限元法的出现可以把复杂的整体结构离散为有限个单元，首先把假设的方程对应到内部结构的单元，然后通过分析与边界条件的约束求解出总方程式。其总过程按照分析的顺序可以分为以下几步：

1把总体结构离散化 2分析结构单元的力学分布3 组装结构单元4 分析总体结构 5 按照需求设置初始边界条件6 通过求结得出结构的总反应 7按照需要还可以得到结构内部某个单元的反应分析

在分析单元与其内部反应分析的时候，可以用形函数插值与高斯数值积分表达单元内部任意一点的反应是数值近似的重要之处。形函数的阶数与近似的精度正相关，不过其必须的单元控制点与高斯积分点所需求的数量也变得更多。因为单元划分的更精细可以精确近似结果。但是使用上面提高精度的两种方法计算量却会大大增加。[20]所以有限元法的发展和优化就是为了既能提高数值近似精度也能在一定程度上减少繁琐的计算量，图2.2.1就是最基本的有限元问题，因为在这个问题的中间部分不规则性的几何空白区域，所以要用有限三角单元来划分结构网格。这是因为在靠外侧的部分，结构的反应变化程度不太大，所以可以把结构单元画的稀疏些，而在中间区域，应力的变化程度相比之下比较大，划分就要密集一些。而在左边部分的单元划分最细致的地方，说明是应力集中的部分，所以需要用相应的高级理论来进行这块区域关于单元应力应变的计算。所以有限元方法目前主要的研究与发展方向就是选择结构离散和高级理论[29]

图2.1.1 有限元方法中的单元划分

2  “离散化”

目前有限元方法中的热门的研究方向是对离散化方法和在其中对应单元的特性和收敛性而有限单元和其总结构的组成部分主要可以分成以下几点：

1、一维单元

①杆单元(桁架)②梁单元(框架)③板单元(壳体)

二维单元(平面应力体和平面应变体)

①三角单元②四边形单元③多边形单元

3、三维单元(立体结构)

①三角体②立方体单元③多边体单元