摘要：有壁面边界条件的稳定二维奈维尔-斯托克斯方程可以用来仿真微缩放喷管中的超声速流。通过观察发现，在地面环境下，激波可以产生在微喷管的内部和外部。对于过膨胀的流动，有一个边界层的分离点，在边界层的下流，激波的分界面使回气流的黏性边界层和无黏性的中心流相分离。斜激波是伴随着弓形激波和菱形激波的。黏性边界层的厚度是和整个喷管的出口界面大小相关的，但是当边界层厚度增加到最大值约为0.5左右，喷管上游的压力也会不断增加，震动也随之而来。黏性的影响既改变了无黏流喷管外部的正激波和喷管内部的斜激波，又转变了没有激波的无黏流的扩张射流和喷管外部的斜激波。

1.引言

   大尺寸的缩放喷管可以改变上流的静压，能够把热能转换为动能进而产生超声速流。当气流膨胀到大气的压力环境中时，激波就能产生。微电子系统制造工艺的快速发展带来了微喷管的发展，据报道，它能够用到脉冲发动机系统上去控制微型或者超微型卫星的姿态。

尽管在微喷管工作的太空条件下没有背压，激波不会产生，但是当它在实验室测试的时候，如果环境的背压能够达到1bar，那么激波就有可能出现。最新提出的微型涡轮系统既能够用来发电又能够被用作微型火箭。对于后来的应用，微型燃烧室出口的热气流是通过微型喷管排除的。

Bayt提出了这个模型，并且设计和测试了微型的缩放喷管。喷管内的流动由一个二维有限体积条件下的奈维尔-斯托克斯方程所模拟。Thomas等人报道了进气道几何条件对脉冲发动机掺混和性能的影响。氦气、氮气和二氧化碳是测试用的气体。他们发现比冲、推力系数和特征速度的大小会随着喷管尺寸的变化和预测值有所不同，而这些是由于粘滞效应和厚的边界层引起的。Alexeenko等人提出了DSMC和硅微喷管的连续介质流的模型。推力损失是由于壁面的剪切应力在平直的喷管结构中比在轴对称圆锥形的喷管中要大。Kujawa和Hitt发表了MEMS超声速喷管瞬时关闭的仿真结果。在稳态条件下，黏性边界层几乎占据了喷管出口横截面的一半。在气门关闭时黏性边界层几乎填满了整个出口截面并且严重堵塞了流动。

据文献调查显示，目前还没有关于微喷管激波方面的学术研究。在目前的论文里，激波是在有边界条件的稳定二维流斯托克斯方程下研究的，微喷管中激波流的结构正在被探索，粘滞效应对激波的影响呀正在被讨论。

2. 微缩放喷管的数字仿真

 2.1 微喷管的几何描述和网格生成

    二维微喷管的特征参数如下：收敛段长度L1、候部宽度w、扩张半角θ、扩张段长度L2。根据目前的论文，L1=0.0005m，但是L2从1.0mm到3.0mm，θ从5°到15°变化。整个计算域包括微喷管和远场区域，在0.03m的基础上选择0.05m的范围来研究。非均匀的网格如1图所示，L2=1.0mm, θ=15°,工作流体是空气，背压是1.013bar.

扩张段长度为1.0mm、扩张半角为15°时微喷管的网格生成图

 2.2 控制方程和边界条件

   控制方程包括一个质量方程、两个动量方程、一个能量方程，还有一个理想气体的状态方程，p=ρRT。需要注意到能量方程中的黏性耗散项也要被考虑进来，写成

质量流率写成：

空气的黏度和温度的关系和热传导应用Shi等人的研究结果，写成  和  这两个公式在室温到1000K的范围内有效，最大的相对误差不超过6%。

  在MEMS设备中的气体流动还没有被研究的比较透彻，Gad-el-Hak给出在微型装置中，气体流动的克努森数为  当地Ma数由

雷诺数定义为 当10﹣³< Kn <10﹣¹时，连续介质流动模型在有壁面边界条件下是适用的，当Kn<10﹣³时，连续介质流动模型在没有壁面边界条件下是适用的。因为喷管壁面是倾斜的，考虑到沿壁面“s”和垂直于壁面“n”梯度，基于参考文献第一个滑移速度可以写成：