这是一个无约束的MORO问题（而不是一个稳定问题）。给定公差区域的三个变量为。目标函数的变化范围是。设为1。我们得到名义上的Pareto方案，然后用Gunawan法和我们的方法来得到鲁棒优化方案。对于这三种情况，我们使用相同的GA和MOGA。结果见图11。

图11（a）两种方法的鲁棒优化方案（b）数值问题中的两种问题的鲁棒优化方案

我们的方法优于Gunawan法之处就在于非连续性函数，在图11中即可提现出来。我们方法所得出的鲁棒方案更接近于名义上的Pareto方案。而Gunawan法得出的结果与名义上的Pareto方案相距甚远。由此，我们可以得出Gunawan法不可用在不连续的目标函数中。为了便于比较，图11（b）只显示了两套稳定方案，并且放大了轴。

如果我们通过将从0.017改为0.016来对AOVR做一个看似很小的改动，那么我们的方法就更优于Gunawan法了，见图12。

如果改动来改变AOVR，那么Gunawan法将得不到任何鲁棒优化方案。相比之下，我们的方法给出了经验证的鲁棒优化方案，见图13。

这个例子说明，非连续性目标函数可显著的降低Gunawan法对于鲁棒优化方案的有效性。相反，我们的方法却能获得较好的鲁棒优化方案。我们通过实验进行了验证，但未将结果呈现在这里，事实上，Gunawan方案对于这个例子是稳定的。

图12时的鲁棒方案

图13时的鲁棒方案

9.总结

我们提出了一种新方法，这种方法是针对目标函数或约束函数的变量会引起不可控变化的多目标问题的鲁棒优化设计。决策者自行制定目标值的变化量。我们推测参数的可变范围是已知的。这种方法可用于目标鲁棒优化，可行性鲁棒优化或性能鲁棒优化（即目标和可行性结合在一起的鲁棒优化）。该方法是确定的，因此不要求的参数变化的概率分布。这种方法不是基于梯度的，因此适用于涉及非连续（或者仅仅是线性不可微）变量的目标函数和约束函数，也适用于变量变化非常大，超出函数线性范围的情况。我们的鲁棒方法，对于目标或约束函数，是基于分别将参数变化映射到目标或约束函数的敏感区域。对于目标或约束函数，我们定义了一个鲁棒系数，即对于目标和约束变量敏感区域到可接受区域的半径。决策者可独立设定指数的阈值。阈值为1.0即可保证所有设计方案的稳定。对于目标值超出期望值或不可行的风险设计，可以将阈值提高，超出1.0。

敏感区域可以是各种形状的，可以不连续，也可以有洞，所以确定它们的大小或大多数的敏感方向是困难的。据此，我们定义了一个极限估计。针对OSR和CSR我们用一个优化了的方法来解决这个极限估计，而不是直接计算敏感区域。这样，全部的鲁棒优化问题就变成了一个内外优化问题。我们用MOGA来解决外部多目标优化问题，用GA解决两个内部多目标优化问题，其中一个是目标鲁棒问题，一个是可行性鲁棒问题。其内外结构可使计算更紧密。进一步研究如何节约成本将是我们未来工作的一部分。

我们引用了两个例子来对比我们的方法和Gunawan和Azarm法[20-23]。当涉及的参数变化使目标和约束函数不连续时，他们的方法便不具普适性。第一个示例中，目标和约束函数是连续的。在这个示例中，我们将目标鲁棒系数和可行性鲁棒系数和二为一，得到一个单独的系数。两种方法所得结果均与名义上的Pareto方案相近。第二个示例中有一个非连续目标函数，它只涉及到目标稳定性。我们的犯法给出了最接近名义上的Pareto方案的方案。而Gunawan法给出的方案在某些区域中与名义上的Pareto方案相距甚远。事实上，当可接受客观变化减小或改变时，Gunawan法给出的结果要远差与新方法给出的结果，甚至无法给出任何结果。