摘要：数e作为一个数学常量，在数学研究和实际生活有重要作用。数e的发现史是数学史的一部分，数e的发现直接推动了天文学、数学的发展，数e的计算凝聚着数学家们的智慧结晶和思想碰撞，体现了极限思想。现代计算机技术的加入使e的值更加精确。包含数e的各种数学模型与大数据联系在一起，在教育、医疗、环境、金融等领域也发挥着自己的应用。

本文对数e的发现过程、表示方式、数e本身性质、计算方法以及数e的各种应用做一个简单的梳理，增加自己的知识面，提高自己的数学思考能力。

关键词：数e；计算方法；无理性；超越性；连分数；级数

Abstract：he number e as a mathematical constant plays an important role in mathematical research and real life. The discovery history of number e is a part of the history of mathematics. The discovery of number e directly promotes the development of astronomy and mathematics. The calculation of number e embodies the mathematicians' wisdom crystals and collisions of ideas, reflecting the ultimate thinking. The addition of modern computer technology makes the value of e more accurate. A variety of mathematical models containing the number e are associated with big data, and also play their own applications in the fields of education, medical care, environment, and finance.

This paper makes a simple analysis of the discovery process of e, discovery method, the nature of e, the calculation method, and the various applications of e, increasing their knowledge and improving their mathematical thinking.

Keywords: number e; calculation method; irrational; transcendence; continued fraction; series

目录

1引言 5

2数e的发现史 5

3数e的表示 7

3.1符号表示法 7

3.2极限定义法 8

3.3级数表示法 8

3.4连分数表示法 8

3.5中文表示法 8

4数e的性质 8

4.1数e的存在性 8

4.2数e的无理性 10

4.3数e的超越性 11

5数e的计算方法 11

5.1极限定义法 12

5.2级数算法 13

5.3连分数计算法 13

5.4连乘法 14

6数e的应用 15

6.1数e在数学分析中的应用 15

6.2数e在概率中的应用 17

6.3数e在统计中的应用 17

6.4数e在实际生活中的应用 19

参考文献 21

致谢 21

1引言

数e，又被称为欧拉常数，是在数学研究领域中常见的一个自然常量。然而相对于另一个大名鼎鼎的数学常量π来说，数e的曝光率可谓是萤火之光。我们对于数e的理解，往往停留在中学数学中学习的指数函数和对数函数的底数上，对它的起源、定义、计算方法几乎都一无所知。事实上，在文艺复兴同时期的地理大发现时代，数e的前身已经活跃在天文学计算中，而后，数学家们对数e展开了各式各样的研究并且取得了了不起的成就。关于数e的表达和计算，伯努利发现了数e的极限形式，欧拉给出了数e的连分数形式和计算方法，之后人们又发现了数e的级数形式及级数计算方法。关于数e的性质，欧拉证明了数e是无理数，利德曼在埃尔米特的基础上严格地证明了e是超越数。现在数e活跃在复数域和拓扑领域，在几何图形的研究也很有前途。本文主要对数e的发现历史和一些简单知识做一个说明。

2数e的发现史

数e的发现起源可以追溯到17世纪初数学家纳皮尔对对数的研究。当时欧洲天文探测作为新兴领域活动频繁，然而庞大的多位数据计算却成了天文学家们研究路途上的绊脚石。为了精简对位数乘除计算量，数学家约翰纳皮尔借鉴前人斯蒂菲尔在其著作《整数算术》[1]中，将等比数列｛1，q，q2，q3，...｝任意两项相乘的积转化为数列各项指数依次排列组成的等差数列｛0，1，2，3，...｝中对应项之和的幂的经验，意识到利用指数项和幂级数之间的对应关系可以把多位数大数据乘方或开方计算降级为加减运算，从而提高运算的效率及准确率。例如取q=2制作一张对数表，1、3排为指数等差数列，2、4排填写以2为底的对应指数的幂，有表1