摘要：不等式是我们了解现实世界和日常生活中的不等关系的一个重要的结合点，在数学的各个领域和现代科学技术中的应用都十分的广泛。也正因为如此，越简单、越基础的不等式就显得尤为重要了，平均数不等式是基本不等式的延伸，是建立其它不等式的基础，包括算术平均数不等式、几何平均数不等式和调和平均数不等式，是基本不等式的重要组成部分。

从1996年的《教学大纲》开始，就已经将平均数定理扩展到三个正数的平均数不小于他们的几何平均数。这个规定直接说明了平均数不等式在高考中的地位，是非常重要的考点。如何简单、快速、有效的解决与之相关的问题，一直是一个非常有趣和引人探索的数学研究领域。

Inequality is an important link between our understanding of the unequal relationship between the real world and everyday life. It is widely used in various fields of mathematics and modern science and technology. It is precisely because of this that the simpler and more basic inequalities are particularly important. The average inequality is an extension of the basic inequality and is the basis for the establishment of other inequalities, including arithmetic mean inequalities, geometric mean inequalities, and harmonic mean inequalities. It is an important part of the basic inequality.

Starting from the "Syllabus" in 1996, the average number theorem has been extended to three positive numbers that are not less than their geometric mean. This provision directly states that the status of the average inequality in the college entrance examination is a very important test point. How to solve problems related to it simply, quickly and effectively has always been a very interesting and exciting field of mathematics research.

关键词：证明； 应用； 教学；数学思想和方法

Keyword: Proof; Application; High school teaching; Mathematical ideas and methods

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图索引 1

引言 1

1 平均数不等式的内容 1

2 平均数不等式的证明 1

2.1 两个平均数不等式的证明 1

2.2 用数学归纳法证明 2

2.3 利用不等式法来证明 3

2.4 用几何方法证明 4

2.5 用排序法证明 5

3 平均数不等式的应用 6

3.1 选择题中平均数不等式的应用 6

3.2 填空题中平均数不等式的运用 7

3.3 解答题中平均数不等式的应用 8

4 教学建议 9

4.1 教师的教学 9

4.2 学生的学习 10

5 结束语 10

参考文献 11

致谢 11

图索引

2 1 函数fx=ex，gx=x+1的图像 3

2 2 函数y=exGn的图像 4

3 1 函数的图像 8

引言

平均数不等式在高中教学中占有重要的地位，在本论文中主要讨论算术平均数的几何平均数之间的不等关系，我将讨论两个正数之间的不等关系，那么这就是我们常说的基本不等式。从1996年的《教学大纲》开始，对高中的基本不等式教学有着这样规定：掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理（包括定理的证明）、并会简单的应用（如：解决最值问题、不等式证明问题等）。体现了知识的认知过程，在新课标中的规定：让学生探索并了解基本不等式的证明过程；体会证明不等式的基本思想方法；会用基本不等式解决简单的最大、最小值问题。让学生体会证明的方法，体现了新课标以人为本的重要理念。由此可见在平均数不等式中的证明中，认识知识的形成过程，体会其中蕴含的不等式的思想，从而进行简单的运用，是高中不等式教学的重点。

平均数不等式的内容

本文主要探索算术平均数和几何平均数之间的关系、证明方法及其应用研究，着力解决与平均数不等式相关的高中数学问题。平均数不等式的主要内容如下：