摘 要： 在数学分析的学习中，常常遇到求解二元函数极限问题，研究其解法显得十分重要.本文探讨了二元函数极限的相关概念，研究二元函数极限的各种求解方法并通过一些实例加以说明.

关键词：二元函数，极限，洛必达法则

Abstract：While studying of mathematical analysis, it is often encountered to solve the limit problem of binary function, so it is very important to study its solution. In this paper, we discuss the concept of the limit of binary function, and study the solution methods of the limit of the binary function and illustrate it with some examples.

Keywords： L'hospital rule, function of 2-variables,limit

目  录

1 引言3

2 预备知识3

2.1 二元函数极限概念3

2.2 二元函数极限的解法5

3 二元函数极限综合应用10

结论14

参考文献15

致  谢16

1  引言

多元函数微分学是在单元函数微分学的基础上发展起来的，它的一些基本概念及研究问题的思想方法虽然与单元函数相仿，但是由于自变量的个数增加，会产生一些新的问题.解题时要注意与一元函数进行对照比较异同，从而加深对多元函数特点的了解.现有教材上关于一元函数极限的概念以及解法都有很详尽的说明，但是对二元函数极限的解法的描述却并没有很详细.本文以此为目的进行研究.

在学习中，一般都要先对一元函数极限的定义以及其解法有了一定的了解，然后再对二元函数极限进行研究，尤其是二元函数的极限和一元函数的极限的相同处和不同处.他们的运算方法都是类似的，但是由于变量的增加，二元函数极限的解法过程比较复杂.他们使用的运算方法主要包括：四则运算法则，函数连续性，柯西（定义）准则，洛必达法则，等价无穷小代换，泰勒展式等等[1,7,8].

本文就二元函数极限的解法做了如下探讨.对于比较简单的函数，可以尝试用定义法进行求解证明.对于含有根式以及很复杂的分式的函数，考虑对其有理化，进行化简.对于未定式的极限问题相对是比较困难的，探求应用二元函数的洛必达法则进行求解的可行性[6,10].对于比较复杂的函数极限求解问题研究能否使用等价无穷小代换时，变量代换，公式变形法，选取较合适的解法[2-6,9-11].

2 预备知识

2.1 二元函数极限概念

2.1.1 二元函数极限定义

定义1  函数 定义在 内，点 是该点集 的一个聚点， 为某一常数.如果对于任意给定的正数 ，都存在正数 ，使得不等式有 成立，则称 为函数 当 时的极限，记为      

或 .

2.1.2 二元函数极限存在性判定

对于二元函数极限，可以知道任取一条路径得到的极限值都是一样的。在研究极限 时，考察两个自变量的不同趋近。这里我们考察 ， 以不同的顺序相继趋近于 ， 时 的极限。但是，二元函数的二重极限 存在与否和二次极限 以及 的存在性却是没有关系的．

定理1　若 在点 存在重极限 与二次极限 ，则它们必相等.

推论1　若二元函数的两个二次极限存在，但他们的值并不相等时，则二元函数极限不存在.

例1  求 .

解  取路径 ,则有 ，取路径 ，则有 .由于 ，根据推论1，所以 不存在.

通常情况下，对于函数中都是关于 ， 的次方，均可以取两条特殊路径，分别计算他们的极限值，若它们不相等，则显然有该极限值不存在.若它们的值都是相等的，那么可以尝试使用缩放法或者二次极限的存在性来判定该极限是否存在.

若直接取 ，得到  .结果与 时没有关系的，于是是不能直接用这种方法来证明，但是呢，如果有函数利用该路径得到的结果是不含 ，而是只与 有关系的话，则其极限值必然是不存在的.