摘要：本文主要讨论二重积分与三重积分的计算方法与计算技巧，其中二重积分与三重积分的计算技巧主要体现在奇偶性及对称性的利用,重积分的应用主要讨论其在几何问题方面和物理方面的应用.

关键词:二重积分;三重积分；奇偶性；对称性;重积分的应用

The Calculation Technique And application of The Double Integral

Abstract: In this paper,we mainly discuss the calculation method and technique of double integrai and triple integral,The calculation technique of doubie integrai and tripleintegral is mainly embodied in the use of parity and symmetry,The application of the double integral is mainly discussed in terms of geometry and physics.

Keywords:Double integral;Triple integral. Parity; Symmetry; The application of the integral

目录

摘　要 1

引言 2

1重积分的定义与性质 2

1.1重积分的定义 2

1.2重积分的性质 3

2.二重积分的计算 4

2.1二重积分的一般计算方法 4

2.2二重积分的计算技巧 6

3.三重积分的计算 7

3.1三重积分的一般计算方法 9

3.2三重积分的计算技巧 12

4.重积分应用 15

参考文献 16

致谢 18

重积分的计算技巧及应用探讨

引言

重积分的计算方法是数学分析中计算的一个重要部分，重积分是定积分的推广，常见的是二重积分和三重积分的计算，二重积分的计算是数学分析中的重点，也是难点，计算比较繁琐.二重积分的计算难度主要来自于两个方面，一是被积函数的多样性，二是积分区域的复杂性.这时，我们就要采用特殊的计算方法进行计算.本文主要通过奇偶性及对称性的利用对一些特殊类型的二重积分的解题技巧进行研究.三重积分主要探讨三重积分的计算方法与技巧.三重积分与二重积分的计算技巧类似，由于被积函数具有奇偶性与对称性，这时利用奇偶性与对称性比较方便.重积分在几何方面的应用是求面积、体积、曲面的面积.在物理方面主要应用于求质量、重心、转动惯量、对质点的引力.

很多文献对重积分的计算技巧及应用进行了讨论，文献[5]、[2]讨论了关于定积分的概念，给出了重积分的概念及性质；文献[5]讨论了二重积分在柱面坐标与只坐标下的计算方法；文献[1]讨论了二重积分的计算技巧；文献[6]、[8]讨论了三重积分在不同坐标系下的计算方法及计算技巧；文献[9]讨论了重积分在几何方面和物理方面的应用.

本文在通过广泛的数据和相关文献的基础上，结合自己的学习实践，根据二重积分的概念和性质，总结出二重积分的计算方法和技巧，在此基础上，给出三重积分在不同坐标的计算技巧．最后介绍了重积分的应用.

1.重积分的定义与性质

1.1.重积分的定义

定义1当是中的有界闭区域，依照可求面积的方法定义的可求体积或可测.设是中的有界可测闭区域上的函数，任取的分划,即把分成若干个可测小区域，它们的“体积”或测度分别记为，当令，表示两点的距离，，对任取，，如果存在，且与分法和的选取无关，称是上的可积函数，其极限值称为在上的重积分，记为或.特殊情况：

=2时，设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数，是一个确定的数，若任给的正数，总存在某个正数，使对于的任何分割,当它的细度时，属于的所有积分和都有

则称在上可积，数称为函数在上的二重积分，记作

时，设为定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数,是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某一正数，使得对于的任何分割,只要,属于分割的所有积分和都有

则称在上可积，数称为函数在上的三重积分，记作

通过以上对重积分的介绍，我们可知连续函数一定可积，有有限个间断点的有界函数可积，单调函数也可积，单调函数即使有无限个间断点，仍不失其可积性.