摘要：微分中值定理是数学学科中重要的基本定理，是研究数学的有力工具，本文详述了微分中值定理的内容以及证明方法.叙述了微分中值定理对于解决数学问题的应用，比如应用拉格朗日中值定理和泰勒公式来求函数极限、证明不等式等.通过这些应用实例，能更细致的学习和研究微分中值定理.

关键词：微分中值定理；拉格朗日定理；泰勒公式；极限

The Study of Differential Mean Value Theorem Related Issue

Abstract: Differential mean value theorem is the basic theorem in mathematics, it is the powerful tool for the study of mathematics. This paper describes the contents of the differential mean value theorem with its proof. It also describes the application of differential mean value theorem to solve mathematical problems, such as using Lagrange mean value theorem and Taylor formula for function limit and the proof of inequalities. Through these examples, we can study and research the differential mean value theorem more detailed.

Key Words: Differential mean value theorem; Lagrange mean value theorem; Taylor formula; Limit

目    录

摘要 1

引言 2

1. 罗尔定理 3

1.1罗尔中值定理 3

1.2 罗尔中值定理的应用 3

2.拉格朗日中值定理 6

2.1拉格朗日中值定理 6

2.2拉格朗日中值定理的应用 7

3.柯西中值定理 8

3.1柯西中值定理 8

3.2柯西中值定理的应用 9

4.泰勒公式 10

4.1带有佩亚诺型余项的泰勒 10

4.2带有拉格朗日型余项的泰勒 11

4.3泰勒公式的应用 11

5.结束语 12

参考文献 14

致谢 15

微分中值定理及其应用

引言

微分是微积分学的一部分，简单的说，微分就是“无限细分”，早期微分主要应用于天文、力学、几何中的计算问题[1].微分的萌芽、发生与发展，经历了一个漫长的时期，在微分诞生后也曾受过质疑，爆发过争论，但先驱们不懈努力和奋斗，逐步使其严密.随着三大定理的发现，人们对微分的认识也更有广度和深度.

如今，人们对微分的研究已经越来越深入，分析学作为一门学科也在大步前进，微分中值定理是数学学科中重要的基础理论.微分中值定理是在现实应用中发展起来的，在除数学之外的包括建筑工程等各大领域中都有广泛的应用，微分中值定理得以飞速发展[2].微分中值定理的广泛应用为数学学科本身及其他学科的发展进步提供了强有力的基石和工具.

本文在前人研究的基础上，给出了微分中值定理的定义，随后又给出证明，最后给出微分中值定理在数学中的应用，包括求极限、证明等式与不等式.在前人的经验和成果的指导下，把微分中值定理的各种求解方法综合应用起来，用于解决数学方面的难题，细化研究微分中值定理，并把微分中值定理扩展应用到各个领域，为解决各方面问题提供思路和方向.

本文主要研究微分中值定理及应用，根据这一内容大致将文章分为五个板块：

第一部分给出了罗尔定理和证明，随后列举了罗尔定理在数学分析中的应用.

第二部分介绍了拉格朗日中值定理和证明，详述了其在求极限和证明不等式上的应用.

第三部分通过对柯西中值定理的论述和证明，对解决高等数学中的等式的证明提供了广泛的思路和多种证明方法.

第四部分是泰勒公式，作为拉格朗日中值定理的强形式，在解决数学问题中也起到不小的作用.

第五部分则是对文章的一个总结.

1.罗尔定理

1.1罗尔中值定理

定理1[3] (罗尔 中值定理)若函数 满足如下条件：

(i)  在闭区间 上连续；

(ii) 在开区间 上可导；

(iii) ，

则在 上至少存在一点 ，使得