摘要：本文主要介绍空间曲面的切平面求解的若干方法.首先介绍切平面的初等方法；其次，根据二次曲面特征根的不同类型讨论切平面方程的求法；中心对称变换是根据二次曲面方程求出其对称中心，进而求出相应的切平面方程；矩阵法根据曲面方程中自变量和常数项，求出相应的矩阵，利用公式求出切平面方程.并针对不同的方法,给出具体的例子加以详细地说明.

关键词：二次曲面；切平面；特征根；对称变换；矩阵法

The curved tangent plane method to explore space

Abstract: Tangent plane of space curved surface were introduced in this paper several methods to solve. First introduces the elementary method of tangent plane; Secondly, according to the different types of quadric surface feature root discuss tangent plane equation in this; Center of symmetry transform is to calculate the center of symmetry based on quadric surface equation, and then calculate the corresponding tangent plane equation; Matrix method according to the independent variable and constant surface equation, and the corresponding matrix, using the formula of calculating the tangent plane equation. According to different methods, and gives concrete examples to elaborate.    

Key words: Quadratic curve; tangent plane; characteristic root; symmetric transFormation; matrix method.

目录

摘要 1

引言 2

1.预备知识 3

2.二次曲面的切平面求法 4

2.1求解二次曲面的切平面初等方法 4

2.2利用特征根求解二次曲面的切平面方程 5

2.3利用对称变换求二次曲面的切平面方程 8

2.4利用替换法求解二次曲面的切平面方程 9

2.5利用矩阵法求二次曲面的切平面方程 10

结束语 11

参考文献 12

致谢 13

空间曲面的切平面求法探究

引言

二次曲面是空间解析几何的重要组成部分，二次曲面的切平面在工农业生产中也有着广泛的应用，而其计算如果用一般方法去求解，会很复杂繁琐，本文对此给出了多种解法，正好解决了这一问题.,把求解二次曲面的切平面方法归纳总结,让学生对二次曲面的切平面求法有更深刻的理解.

很多文献对二次曲面的切平面求法进行了研究和讨论.例如文献[3]是关于二次曲面切平面的概念及切平面型的性质的一些讨论；文献[4]主要研究了求二次曲面的切平面方程的传统方法，先借助偏导，求出法向量，再带入点法式即可得到切平面方程.文献[7]主要讨论了巧用二次曲面的切平面方程,通过对二次曲面的方程进行项的改变，使得过二次曲面任一点处的切平面方程变得简单；文献[10]主要讲述了利用中心对称变换的方法来求二次曲线的切线的问题.

本文在前人研究的基础上,作为空间解析几何内容的适当扩展和补充,首先简单介绍了二次曲面的切平面的定义以及切平面型的性质，其次给出了二次曲面切平面的两个充分性命题，接下来，深入讨论了利用特征根解决切平面的问题，归纳整理出相关定理及给出对应的例题，然后又针对过正常点的二次曲面切平面的问题，给出了几种特殊解法，例中心对称变换法，替换法以及矩阵法都可以用来求过正常点的二次曲面的切平面方程的问题.

1．预备知识

定义1^([1])设P是曲面S上的一点,∏为通过点P上的动点Q到定点P和到平面∏的距离分别为d和h,若当∏在曲面S上以任何方式趋近于P时,恒有h/d→0则称平面∏为曲面S在点P处的切平面,P为切点.

命题1曲面S：z=F(x,y)在点P(x_0,y_0,F(x_0,y_0))存在不平行于z轴的切平面∏,函数F(x,y)在点P(x_0,y_0）处可微,且切平面∏的方程为

z-F(x_0,y_0)=F^'(x_0,y_0)(x-x_0)+F^'(x_0,y_0)(y-y_0).

命题2^([3])设函数F(x,y)在点(x_0,y_0)处可微,P(x_0,y_0,z_0)是曲面S:z=F(x,y)上的一定点,Q_1,Q_2是曲面S上的任意俩点且〖P,Q〗_1,Q_2三点不共线,则当Q_1,Q_2沿此曲面S无限接近与定点P时,割平面〖PQ〗_1,Q_2存在极限位置∏,且平面∏为曲面S在点P处的切平面.