定义2设空间中的点P_0不在曲面Σ上,若过点P_0的任一条直线与曲面Σ均相交,则称P_0是曲面Σ的内点；若存在过点P_0的直线与曲面Σ不相交,则称P_0为曲面Σ的外点.

定义3设点P_0(x_0,y_0〖,z〗_0)在二次曲面S上,故F(x_0,y_0〖,z〗_0)=0,如果F_i(x_0,y_0,z_0)(i=1,2,3)不全为零,那么点P_0(x_0,y_0〖,z〗_0)叫作二次曲面的正常点,否则叫奇异点,简称奇点.

若P_0(x_0,y_0〖,z〗_0)∈Σ,则过点P_0(x_0,y_0〖,z〗_0)的曲面Σ的切平面方程为

a_11x_0x+a_22y_0y+a_33z_0z+a_12(x_0y+y_0x)+a_13(x_0z+z_0x)+a_23(y_0z+z_0y)+a_14(x_0+x)+a_24(y_0+y)+a_34(z_0+z)+a_44=0.

定义4设空间一点P_0(x_0,y_0〖,z〗_0)和动点P(x,y,z).令

T(P_0,P)≡F_1(x_0,y_0〖,z〗_0)x+F_2(x_0,y_0〖,z〗_0)y+F_3(x_0,y_0〖,z〗_0)z+F_4(x_0,y_0〖,z〗_0).

若该方程T(P_0,P)=0存在,则称该平面为二次曲面Σ关于点P_0的切平面.

类似于这样的曲面Σ称之为切平面型平面,它具有以下性质：

性质1点P_0的切平面型平面存在的充要条件是P_0为曲面Σ的正常点.

性质2点P_0的切平面型平面上的点都是正常点且该平面上的点的切平面型平面都过P_0点.

性质3平面mx+ny+lz+d=0(m,n,l不全为零）是曲面Σ的切平面型平面的充要条件是

〖Δ〗^(‘’)=[█(■(a_11&a_12&a_13@a_12&a_22&a_23@a_13&a_23&a_33)■(m@n@l)@■(a_14)■(a_24&a_34&d))]≠0.

通过上述性质,可以得出如下推论：

推论1点P_0的切平面型平面与曲面Σ相切的充要条件就是点P_0在其自身的切平面型平面上,且点P_0∈Σ.

推论2点P_0的切平面型平面与曲面Σ有交点P_1（P_1≢P_0）但不相切的充要条件是P_0是曲面Σ的外点.

推论3点P_0的切平面型平面与曲面Σ无交点充要条件是P_0是曲面Σ的内点.

2.二次曲面的切平面求法

2.1求解二次曲面的切平面初等方法

对于一般的二次曲面切平面是求出切平面的法向量，再利用点法式写出切平面的方程.现在只用简单的初等运算就可以得到切平面的方程.

定理1^([9])设点P_0(x_0,y_0,z_0)在曲面F(x,y,z)=0上,而F(x,y,z)在点P_0处存在连续偏导数,且三个偏导数不同时为零,则曲面F(x,y,z)=0在点P_0处的切平面方程为