摘要：本文所研究的多项式理论的应用探讨包括整系数多项式的哥德巴赫定理，自然数的方幂和，求两个连续自然数积的方幂和，以及用Vieta定理编拟二重根式习题，为我们在解决一些问题上提供另一种解题思路．

关键词：多项式；整除；方幂和；艾森斯坦判别法；二重根式

Some Applications of The Polynomial Theory

Abstract：Polynomial theory is an important part in higher algebra, as for the polynomial theory is applied widely, it is self-evident, for many problems of other mathematics branches are attributed to some special polynomial root．Application of Goldbach theorem of polynomial theory in this research include polynomial with integer coefficients, the power sum of natural number and the power sum of the two consecutive natural number's product．And by using the Vieta theorem of compiling double radical exercises,this article provides another way to solve some problems for us．

Keywords：Polynomial； exact pision； Power sum； Eisenstein discriminant method； Double radical

目    录

摘要 1

引言 2

1. 基本理论与符号 3

2. 整系数多项式在哥德巴赫猜想中相类似的证明及应用 4

2．1 整系数多项式在哥德巴赫猜想证法一中的应用 4

2．2 整系数多项式在哥德巴赫猜想证法二中的应用 6

3. 多项式在求方幂和中的应用 9

3．1 求自然数方幂和的简单方法 9

3．2  多项式在两个连续自然数积的方幂和中的应用 11

4. 多项式Vieta定理在编拟二重根式习题中的应用 15

5. 结束语 17

参考文献 19

致谢 20

多项式理论的应用探讨

引言

根据多项式理论在代数学中的重要地位，以及数学其他分支的许多问题都可以归结为求某些特殊多项式的根的问题，故多项式理论的应用十分广泛．所以本文就从多项式理论的一些应用出发来研究解决一些问题的另一种思路．

文献[1]中为我们提供了多项式的一些基础知识；文献[6]，文献[7]，文献[13]也都研究哥德巴赫定理得一些证明和方法；而关于求自然数的方幂与两个连续自然数积的方幂和在本文参考文献中也都有研究，为本文提供了思路；最后，在应用Vieta定理编拟二重根式时，本文所用参考文献给出了具体的编拟过程．

而本文用两种方法来证明整系数多项式的哥德巴赫定理；在求自然数的方幂与两个连续自然数积的方幂和时，也与多项式联系起来，提供另一种解题方法．最后，应用Vieta定理结合编拟题的具体步骤与方法，再次举例叙述用Vieta定理编拟二重根式的过程．

1 基本理论与符号

  文中我们规定： 表示数域； 表示一元多项式环； 表示自然数集；

表示多项式 的次数．在《高等代数》的第一章中我们已经知道。