摘要：确界是高等数学中一个重要的概念.本文通过确界定义的概念，引入确界原理及其性质和相关的知识.为读者展现确界的一些基础知识，然后把确界与实变函数联系起来，并在实变函数中得以应用，来促进数学学科的学习.

关键词：确界定义；确界原理；实变函数及应用.

The Application of Definition in the Theory of Real Variable Function

   Abstract: It is a very important concept in higher mathematics. In this paper, we introduce the principle of definite boundary and its properties and related knowledge. So that readers have a further understanding and the understanding of supremum and infimum, also to the reader show supremum of some basic knowledge, and then the supremum and real variable function, and in real variable function application, to promote the learning of mathematics.

   Keywords: Definition of definition ；Exact boundary principle ；Application of real variable function .

目录

摘要 1

引言 2

1.预备知识 3

1.1确界定义 3

1.2确界定义的应用 3

1.3确界原理 4

1.4数列的上极限下极限及其性质 5

2.确界定义在实变函数的应用 6

2.1集合列的上极限下极限 6

2.2点集的勒贝格外测度 8

2.3非负可测函数勒贝格积分 10

2.4勒贝格控制收敛定理及应用 13

结束语 15

参考文献 16

致谢 17

确界定义在实变函数论中的应用

引言

数学分析是应用数学专业中一门重要的基础课.对我们以后学习数学专业课很重要,大学的数学课程在本质上都可以看着是它的延伸、深化与应用.至于它的基本概念、思想和方法，更是在数学专业中无处不在.数学专业后继课如微分方程、实变函数和复变函数，概率论统计学及泛函分析等课程都是以数学分析为基础.同时数学分析也是数学专业各个方向上考研必备的专业课和基础课.

实变函数也是应用数应专业的一门的基础课，是数学分析的发展与深化.数学分析主要研究定义在区间上的连续函数，实变函数研究对象扩大到定义在可测集上的可测函数.通过学习实变函数，让学生的思维能力产生一个飞跃，分析问题的思想方法更加灵活.实变函数也是一门理论性很强的课程，且内容比较抽象、概念性强、逻辑周密、推理严谨，使学习起来比较困难.

确界定义是高等数学的一个重要概念，同时确界是数学分析中第一个涉及极限思想的概念.实变函数是数学分析延伸，并且是一门理论性很强的课程，学习起来比较困难.我们可以在数学分析已有知识的基础上学习实变函数，减少学生学习的难度,使学生较容易的接受实变函数中的理论知识.

课题通过介绍确界定义，引入确界原理及其性质和例子.使读者对确界的概念有进一步的认识和了解.同时向读者展现确界的一些基础知识，然后把确界应用到实变函数论中，来促进数学学科的学习和教学.

1预备知识

1.1确界定义

定义1设为R中的一个数集.若存在数，使得对一切,都有，则称为有上界的数集，数称为的一个上界.

设为中的一个数集.若存在数，使得对一切,都有,则称为有下界的数集，数称为的一个下界.

若数集既有上界又有下界，则称为有界集.若不是有界集，则称为无界集.

若数集有上界，则显然它有无穷多个上界，而其中最小的一个上界常常有重要的作用，称它为数集的上确界.同样有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界.

定义2设是R中一个数集.若数满足：

(1）对一切,有,即是的上界；

(2）对任何，存在，使得，即又是的最小上界，则称为数集的上确界，记作.

定义3设是中一个数集.若数满足：