摘要：Helmholtz方程是一种偏微分方程，在诸如电磁场，声波，水波，膜的的振动这些物理现象中会经常出现。如何求解Helmholtz方程已成为物理学中重要的热点问题。

本文主要介绍了Helmholtz方程的两种数值解法。在第一章中首先介绍了Helmholtz方程的研究现状，接着在第二章中给出了方程的二维格式，并对两种特殊的偏微分方程进行了介绍，同时对有限元法与差分法进行了分析。在第三章中我们介绍并给出了matlab实现Helmholtz方程两种解法的原理并给出相应的matlab程序代码，最后通过给出两个不同的算例并用程序代码实现得到结果图像，对两种Helmholtz方程的数值解法进行了比较。

关键词：Helmholtz方程；差分法；有限元法；matlab

Abstract：The Helmholtz equation is a partial differential equation that often occurs in physical phenomena such as electromagnetic fields, acoustic waves, water waves, and film vibrations. How to solve Helmholtz equation has become an important hot issue in physics.

In this paper, two numerical solutions of Helmholtz equation are introduced. In the first chapter, we first introduce the research status of Helmholtz equation. Then we give the two-dimensional scheme of the equation in Chapter 2, and introduce two special partial differential equations. At the same time, the finite element method and the difference method analyzed. In the third chapter, we introduce and give the principle of matlab to achieve Helmholtz equation and give the corresponding matlab code. Finally, by giving two different examples and using the program code to get the result image, the numerical solutions of the Helmholtz equation are compared.

Keywords：Helmholtz equation; difference method; Finite element method; matlab;

目录

第一章绪论 1

1.1Helmholtz方程的介绍 1

1.2Helmholtz方程的国内外研究现状 1

1.3论文主要工作 2

第二章Helmholtz方程的数值解法 3

2.1偏微分方程介绍 3

2.2Helmholtz方程的形式 4

2.3Laplace方程与Possion方程 5

2.4差分法原理 6

2.5有限元法原理 7

第三章matlab程序的实现 13

3.1matlab程序实现 13

3.2实例分析一 16

3.2.1有限元法 16

3.2.2差分法 21

3.3实例分析二 24

3.3.1有限元法 24

3.3.2差分法 29

结语 33

致谢 34

参考文献 35

第一章绪论

1.1Helmholtz方程的介绍

亥姆霍兹方程的出现归功于德国物理学家亥姆霍兹。在物理学中如何精确的求解Helmholtz方程一直是一门重要的课题。亥姆霍兹方程之所以经常出现在电磁学，地震学（地球运动中的物理问题）和声学（噪声控制，水中声波和航天声学）这样包含有波动物理问题的研究中，是因为它在很多情况下可以与波的问题划等号。Helmholtz方程的数学模型研究，因为它本身的复杂与困难程度，依然面临着很多困难。尤其是在大波数的问题上，研究依然在进行。因此研究出易于实现的快速的数值解法成为了从上世纪至今学者与专家们的首要问题。

因为其作为微分方程的特殊性，Helmholtz方程与拉普拉斯方程,泊松方程有很多相似之处。Helmholtz方程,泊松方程方程和拉普拉斯方程三者之间相互关联。Possion方程因为其良好的性质形成了很多的有效的数值解法。但是相比Possion方程的零扰动性和正定性而言，Helmholtz方程产生的是不定矩阵，这就意味着它不会拥有Possion方程的的优良性质，从而会在使用数值解法计算时产生计算上的波动。

亥姆霍兹方程的解决方案多种多样，差分法和有限元法这些方法自上世纪以来相继被提出并改善，二者各有优缺点。有限元法的优点是其求解的精度较高边界问题较为灵活，但其缺点在于所需计算量大。差分法的优点在于其需要的计算和理论分析较为简单，容易在计算机上实现，但其缺点在于随着波数的增大Helmholtz方程解的震荡性也会随之增大，在稳定性上较为一般。本文主要介绍使用以上两种方法对Helmholtz方程进行数值计算。