1.2Helmholtz方程的国内外研究现状

在最近几年，大量的研究者对Helmholtz方程的数值方法进行了大量的工作，并且研究出了各种在不同情况下适用的解决方法。在1966年，Yee得到了一个高效率的有限差分时域方法和一个leap-frog格式。在1983年，Manohor等人提出了一种可以求解六阶精度的但是对导数要求较高的Helmholtz方程的差分格式。

在对于差分格式的研究中，许多研究成果都被学者们所提出的。1985年Bayliss等人以及Babuska和Sauter的研究成果表明Helmholtz方程的差分格式如果想要达到预计的求解精度，格式需要采用的网格点数会伴随着波数的增加而相对增加这一现象。如果想要达到预先要求的求解精度，就必须采用直接的中心差分格式并且增加网格点的点数。这大大增加了计算量。如果采用紧致的差分格式就可以用较少的网格点数达到较高的求解精度，从而极大的减少了计算量。1989年,Dennis等人得出了一种关于对流扩散问题的四阶差分格式。1995年，E.turkel等人得到了一种有关于Padapproximation的高精度差分格式，但存在些许问题。1998年PeterC.chen和Chenwufan合作，用埃尔米特样条函数在研究海洋模型中，提出了一个非均匀网格的联合紧致差分格式，其特点是计算量小。

从本世纪开始，关于Helmholtz方程的研究更上一步。2004年,Tony等人提出了一种基于M矩阵理论的高精度紧差分格式。22007年,MajidNabavi等人得到一种二维的针对对Neumann边界的六阶精度的逼近格式。

与此同时，大量的研究成果也由国内的工作者提出。1994年李志林等人提出了浸入界面法，它可以和有限差分法，有限元法结合使用，并且充分的利用了间断处的信息。田振夫,冯秀芳等人在间断系数问题上也有所突破。2010年冯等人在直角坐标系下够早了求解波数为分段常数的一维和二维Helmholtz方程高阶差分格式。

1.3论文主要工作

首先，论文对偏微分方程的概念进行了介绍，接着给出了二维特殊形式的椭圆偏微分方程Helmholtz方程与Laplace方程与Possion方程的格式。其次研究，给出了有限元法，差分法的方法步骤，并给出有限元与差分方程。在第三章中给出Helmholtz方程的有限元法和差分法的matlab代码，并在第四章中通过matlab数值计算Helmholtz方程以及Possion方程和Laplace方程并得到结果，以验证本文的结果。

第二章Helmholtz方程的数值解法

2.1偏微分方程介绍

偏微分方程诞生于十八世纪。著名的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，是提出弦振动的二阶方程最早的学者。在一段时间之后，法国数学家让·勒朗·达朗贝尔,出版了著作《论动力学》，其中包含了他创造的特殊的偏微分方程。在1746

年,让·勒朗·达朗贝尔提出了针对弦振动的研究性的偏微分方程。而从十九世纪直至今日的二十一世纪,关于偏微分方程问题的研究一直在飞速的发展。一般的常微分方程指的是未知函数只包含一个自变量的微分方程，这种微分方程，通常也被叫做微分方程。而偏微分方程即它拥有多元函数的偏导数，即未知函数与多个变量有关联，同时方程中出现了未知函数对几个变量的导数。

在本论文中，我们主要讨论的是二维偏微分方程，它可以表示为如下形式：

其中边界条件为：

根据偏微分方程中的B,A,C之间的系数关系，我们可以把偏微分方程按照类似于中学时所学的平面图形分类的方法来分为三类：

（1） 椭圆形偏微分方程，其满足：

（2） 抛物线型偏微分方程，其满足：

（3） 双曲线型偏微分方程，其满足：

这三种方程的形式分别的代表着对应稳定的状态，扩散的状态和振荡的状态。由于偏微分方程的解析解在大多数情况下比较难以获得，所以在本文中，我们主要分析研究使用matlab对它们进行数值的求解。