摘要：凸函数是一类具有特殊性质的函数。它已被广泛应用于各种数学研究领域。由于其本身凸性等性质优良特性，它在函数及不等式的研究中的地位十分重要。可以利用凸函数证明一些初等函数不好证明的不等式，可以减少证明的困难。

对于凸函数,介绍了许多数学教科书、分析书籍和文献，但是大都显得很零散，对于读者的引用较为困难。为了让大家对凸函数有一个较为全面的认识，本文系统地阐述和证明了文献中给出的一些命题、定义和定理,并讨论了凸函数的几个判定定理。在凸函数中,Jensen不等式在不等式证明中有着很重要的位置，在证明一些不等式方面有着关键的作用，本文会单独对此命题进行证明并详细讲述其证明过程。文章后面部分还会介绍凸函数在概率论中的应用并证明一些经典的不等式。

关键词： 凸函数；证明不等式;应用

The Property and Applications of Convex Functions

Abstract: Convex functions are a special class of functions It has been widely used in various fields of mathematical research. It plays an important role in the study of functions and inequalities due to its excellent properties such as convexity. We can use convex functions to prove some inequalities that are difficult to prove for elementary functions.For convex functions, many math textbooks, analysis books and literatures are introduced, but most of them are scattered and difficult for readers to quote. In order to let everybody to convex function has a more comprehensive understanding, this article systematically expounds and proves the literature gives some propositions, definitions and theorems, and several judgement theorem of convex function are discussed. In the convex function, Jensen inequality is one of the most important inequality, has the irreplaceable role in the field of prove inequation, the paper will separate for certificate and detail the process of this thesis. The application of convex functions in probability theory and some classical inequalities will be proved later in this paper.

Keywords: Convex function. Proving the inequality; application

目录

摘要 i

Abstract i

目录 iii

1绪论 1

2凸函数的定义及性质 2

2.1凸函数的定义 2

2.2凸函数的性质 3

2.2.1线性性质 3

2.2.2解析性质 3

2.3本章小结 9

3Jensen不等式的证明及凸函数的判定定理 10

3.1判定定理 10

3.2JENSEN不等式及其证明 12

3.3本章小结 13

4凸函数的应用 1

4.1凸函数在不等式证明中的应用 1

4.2凸函数在概率论中的应用 6

4.3本章小结 10

5凸函数在其他方面的应用 11

5.1凸函数在微分学中的应用 11

5.2凸函数在积分中的应用 12

5.3利用凸函数证明CAUCHY不等式 14

5.4利用凸函数证明HOLDER不等式 15

5.5本章小结 16

6结论 17

7致谢 18

8参考文献 19

1 绪论

凸函数是高等数学研究领域的一个非常重要的概念，近百年来，凸函数的应用是分析不等式研究中的重要方面，凸函数的性质及其应用的概念最早在Jensen[1905]的文章中就已经有所说明。它对于凸函数的理论研究和广泛应用具有很重要的作用。到目前为止,研究凸函数已经从它的定义到凸性方面的探索到和凸函数的连续性与半连续关系的研究，对凸函数的探索已经十分深入精确，广泛应用于数学对策论、控制论、运筹学、复分析、经济学等领域，我们用凸函数的性质来证明不等式和其他很多方面。

凸函数是一个特殊函数，对其凸性的定义及应用的探究成果广泛运用于数学分析的研究中。凸函数在函数图的描述和不等式的推导中起着重要的作用。并且凸函数有其独特的优点，其理论的普遍性及在数学各领域中的广泛应用,对凸函数理论的进一步研究和推广具有十分重要的意义。同时,在数学分析中,凸函数是一种特例,一般只在实际的教科书中引入它的定义,虽然它在证明不等式方面具有独特的功能,但很少涉及到。因此,总结一些凸函数的性质是非常重要的,可以用这些性质来证明一些不等式。