凸函数理论的基础可以追溯到本世纪初的Holder，Jensen和Minkouski的作品。真正吸引人们注意的是二十世纪四十年代和二十世纪五十年代VonNeumann、Dantzig、Kuhn和Tucker等人的博弈论和数学规划研究。由于这方面的需要,从二十世纪五十年代代初到二十世纪六十年代代末,凸函数的研究更加深入，在很多概念方面，凸性分析方面提出了很多广义凸性的概念,如准凸(准凸、准凸)数,(严格)凸功能等这大大促进了其广泛应用。

目前，凸函数的研究已经从定义的研究到凸性的研究，再到凸性应用的方面的研究。主要集中在：中间凸函数情形下函数成为凸函数的条件，利用半严格凸和中间凸性给出凸函数的一个判别准则，实值函数成为凸函数的一些条件等。凸凹函数理论在应用上越来越重要，其在数学规划论、对策论、数理经济学、变分学和最有控制论等领域中起着重要的作用，并且有着无限的发展潜力和发展前景。

2 凸函数的定义及性质

这一章大致介绍了六种凸函数的定义,而且对它的线性性质和分析性质作了详细的描述。

2.1 凸函数的定义

定义1如果是在区间上的函数有定义，对上的随便两个点和任何的实数,一直有

那么就称为上的凸函数。

注：上免定义中“”改成“<”就变成了严格凸函数。

定义2设是连续的在区间上,如果对于上两个任意的常数,一直有

因此在区间上叫做凸函数,图在是向下凸的。

定义3设区间上有意义，对所有的

，有如下关系式：

称为区间上的凸函数。

注：在上面公式中“”改成“<”就变成了严格凸函数。

定义4在区间上是连续的的函数也是可导的函数,如果只在曲线保持在曲线的下面时,那么就叫做区间上面的凸函数

定义5设函数是区间上的函数并且有意义　

那么就把叫做区间里面的向上凸函数。

定义6如果函数在集上面有意义　

那么把叫做集内的向上凸函数。

2.2 凸函数的性质

2.2.1 线性性质

定理1假设全部是上面的凸函数，则还是上面的凸函数。

定理2如果是上面的凸函数，是一个正数，那还是上面的凸函数。

定理3如果凸函数是单调递增的，也是凸函数，也是凸函数。

定理4假如和都是上面的不是一直增加的凸函数，那么还是集上面的凸函数。

2.2.2 解析性质

（1） 连续性质解析

性质1如果凸函数在区间上，那么在区间的任何点都是连续的。

分析过程：由于，所以对于，令，那么

并且在严格地增加时，也严格地增加，而且通过单调有界性我们得到

存在点，也就是的内点在左可导，内点在右可导也能够利用一样的定理来证明，然后使在内点是连续的，所以在区间内任何一点连续。

（2） 凸函数的微分性质解析

概念令是里的凸函数，使用一常数符合：

它在常数中被叫做次梯度，其所有的次梯度，会构成一个集合,我们把这个叫做次微分，记作，就是

假设，是一个非空闭凸集合，当在可微的时候

引理1令，在上面是连续凸函数,，则当且仅当：，是在上的最小值点。