摘要：时间分数阶Burgers方程在气体的超速传送，半导体增长的不规则扩散，流体动力学，生理学，声波在隧道里的传播以及某些燃烧模型等中有着非常重要的应用。由于时间分数阶Burgers方程的解析解较难得到，因而对其寻求数值方法求解是非常必要的。本文分别基于L1公式和L2-1σ公式对时间分数阶Burgers方程构造三个差分格式：时间方向1阶精度、空间方向2阶精度的线性差分格式；时间方向阶精度、空间方向2阶精度的差分格式；时间方向和空间方向均为2阶精度的差分格式。应用离散能量法分析了时间方向分别为阶精度和2阶精度的两个差分格式解的稳定性。应用所构造的差分格式对时间分数阶Burgers方程进行数值模拟。数值算例验证了差分格式的精度和有效性。

关键词：时间分数阶导数；Burgers方程；差分格式；稳定性

Abstract：Time fractional Burgers equation has important applications in the speeding up of gas, the irregular diffusion of semiconductor growth, the hydrodynamics, physiology, propagation of acoustic waves in tunnels, and some combustion models. Because the analytic solution of fractional Burgers equation is difficult to obtain, it is very necessary for us to solve the equation by the numerical methods. This paper proposes three difference schemes for time fractional Burgers equation based on L1 formula and L2-1σ formula, respectively: A linearized scheme with first-order accuracy in time and second-order accuracy in space; A stable scheme with  accuracy in time and second-order accuracy in space; A stable scheme with second-order accuracy both in time and space. The stability of the last two schemes are proved by discrete energy method. An example is presented to verify the accuracy and effectiveness of the three difference schemes.  

Keywords: time fractional derivative; Burgers equation; difference scheme; stability

目录

第一章绪论 1

第二章差分格式的建立及稳定性分析

2.1记号和引理 5

2.2基于L1公式的差分格式 7

2.2.1线性差分格式 7

2.2.2稳定的差分格式 8

2.3基于L2-1σ公式的差分格式 11

第三章数值算例 14

结论 17

致谢 18

参考文献 19

第一章绪论

在近几十年来，伴随着人们对事物认识的不断深入，许多学者发现作为拟微分算子的分数阶导数具有非局部性，非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，并且和整数阶微分方程相比能够更加准确的刻画许多自然界中的现象。由分数阶微积分发展起来的分数阶微分方程也被广泛的应用于光学与热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域[1-4]。因此，分数阶偏微分方程引起了人们的广泛关注，成为一个新的研究领域。

然而，对于许多复杂的问题，线性的分数阶微分方程也无法给出更好的模型加以描述。对于此类问题，分数阶非线性微分方程对问题的描述会得到意想不到的结果。分数阶非线性微分方程的求解是工程实际应用中经常遇到的问题，广泛地出现在工程技术和数学物理的各个领域当中。分数阶非线性偏微分方程的解在理论和应用上具有重要的价值，这些解可以很好地解释各种自然现象，如振动、传播波及孤立子等。然而对于分数阶非线性偏微分方程来说能够求出其解析解的是少之又少。有的分数阶非线性微分方程即使能够求出解析解，其解的形式大部分是由极其复杂的级数或特殊形式的函数给出，给计算带来很多困难。因此，数值求解分数阶非线性偏微分方程无论对工程技术领域还是对数学本身都具有重要的实际意义，已经吸引了越来越多学者的关注，成为数学和工程领域研究的主要任务之一。