摘要:目前对线性空间与欧氏空间的基与标准正交基的求法有很多,如一些常用的办法:定义法,初等变换法,施密特正交化法等.本文对求线性空间与欧氏空间的基与标准正交基已有的方法加以分析利用,提供更多理论基础,让其办法思绪简洁,算法简变,实用性强.

关键字:线性空间;欧氏空间;基;标准正交基;初等变换法.

The Base of Linear Space and Euclidean Space with the Method of Standard Orthogonal Basis

Abstract: On the base of linear space and Euclidean space and orthonormal basis for hair has a lot of as some of the commonly used methods. Definition method, method of Elementary transformation, Schmidt orthogonalization method, etc. In this paper, the linear space and Euclidean space and analyzed using the orthonormal basis of the existing method, to provide more theoretical knowledge, let the method is simple, the algorithm is simple and practical.

Key words: Linear space; Euclidean space; Foundation; Standard orthogonal basis; Elementary transform method.

目录

摘要 1

引言 2

1.预备知识 3

2.线性空间基的不同求法 4

2.1定义法 4

2.2行列式法 6

2.3初等变换法 8

2.4解方程组法 10

3.欧氏空间标准正交基的求法 11

3.1施密特正交化法 11

3.2合同变换法 13

3.3初等变换法 16

4.结束语 18

参文考献 19

致谢 20

线性空间与欧氏空间的基与标准正交基的求法

引言

线性代数是在线性空间中研讨线性变动，是一个最基本的概念.在线性空间一章中，理论和思想是整个线性代数的中心内容之一,也是讨论线性变换和欧氏空间的必备知识.基本概念从代数,几何,分析等方面的模型抽象出来以公理化方法形成,再用逻辑推理揭示其一些基本性质.线性代数研究的线性空间主要是有限维的.线性空间是无限的还是有限维的,以及在非零有限维时,确定它的基与维数是研究线性空间的基本问题.关于非零有限维线性空间的构造,向量之间的相互关系以及维数相同的两个线性空间之间的联系,都需要通过基来描述.

线性空间概念的形成，是将二﹑三维几何空间的向量从加法与数乘运算及其运算法则推广到一般数域上的元有序数组，从而的得到数域上的维线性空间,以用于高维向量的线性性.进一步从推广到一般数域上的任意元素构成的非空集合形成的线性空间.两次推广后的空间中的向量,失去了本来几何空间向量的度量性质(长度﹑夹角等),以至于无法比较两个向量之间的大小和衡量两个向量的夹角或距离.要把几何空间中向量的度量性质也推广到一般的线性空间,需要限制基础数域为具有度量性质的实数域,并且重新建立线性空间中向量与实数之间的联系－长度.因而,定义称为内积的二元实函数,并建立相应的规则,使得实数域上的线性空间增加了除线性运算以外的内积运算，从而成为欧氏空间,它以几何空间为简单模型.在几何空间里,常常选取彼此正交的单位向量作为空间的基，这样的基一方面能线性表示空间中所有的向量,另一方面使得向量在基下的坐标简单而容易参与运算.在引入标准正交基的概念后,介绍由一组基求标准正交基的办法，从而将向量的内积计算问题转化为向量在标准正交基下坐标的内积计算来处理,并进一步研究欧氏空间的正交变换奠定基础.

线性空间与欧氏空间是高等代数很重要的内容,基与标准正交基的求法也是其中的难点，很多文献对此局部内容从不同方面和角度做过大批的研讨.不少学者也对线性空间基与欧氏空间的标准正交基的求法发表过很多论文,阐述具体,全面.

本文将对已有的线性空间与欧氏空间基与标准正交的基的求法加以研究,同时讨论方法的差别.