1.预备知识

定义1[1]设是一个非空集合,是一个数域.在集合的元素之间定义了一种代数运算,叫做加法;这就是说,给出了一个法则,对于中任意两个元素与,在V中都有唯一的一个元素与它们对应,称为与的和，记.在数域与集合的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法;这就是说,对于数域P中任一个数与中任一个元素,在中都有唯一的一个元素与它们对应,称为与的数量乘积,记为.如果加法与数量乘法满足下述规则,那么称为数域上的线性空间.

加法满足下面四条规则:

(1);

(2);

(3)在中有一个元素,关于中任一元素都有;

(具备这个性质的元素称为的零元素);

(4)关于中每一个元素,都有中的元素,使得;

(称为的负元素);

数量乘法满足下面两条规则:

数量乘法与加法满足下面两条规定:

在以上规则中,,等表示数域P中任意数;等表示集合中任意元素.[1]

定义2[1]设是数域上的一个线性空间,,若有

(1)线性无关;

(2)任意,可有线性表现,称是线性空间的一组基,并称为维线性空间.若中不存在满足条件(1)和(2)的向量组,则称为无限维线性空间.

定义3[1]在维线性空间中,个线性无关的向量称为的一组基.

定义4[1]设是实数域R上一线性空间,在上定义了一个二元实函数,称为内积,记作.它具备以下性质:

当且仅当时，

其中是中任意的向量,是任意实数,这样的线性空间称为欧几里得空间(简称欧氏空间).

定义5[1]欧氏空间中一组非零的向量,如果它们两两正交,就成为一正交向量组.

定义6[1]在维欧氏空间中,由个向量组成的正交向量组称为正交基;由单位向量组成的正交基称为标准正交基.