2.2Helmholtz方程的形式

Helmholtz方程在不同的物理问题与维度条件下其方程形式也各不相同。

式中求解区域，是区域的外边界，上图为式中区域。

二维的Helmholtz方程也可以表示为：它的自变量取值范围D为：边界条件为：

存在一种特殊状况，如果Helmholtz方程中，那么它变为Possion方程。如果同时满足和，那么它变为Laplace方程。

2.3Laplace方程与Possion方程

拉普拉斯方程（即Laplace方程）是一种十分重要的方程。它在数学物理和偏微分方程的一般理论中经常被引用。它的标准形式如下：

通常情况下它可以被简写为：

在静电学，势论，流体力学，热传导理论及物理学中的其它许多分支问题中都会遇到Laplace方程。Laplace方程也是一种椭圆型方程。拉普拉斯方程的二维形式如下：

为Laplace算子，解称为调和函数。此处的拉普拉斯方程为二阶偏微方程。三维情况下，拉普拉斯方程的问题可以被归结为求解对实自变量二阶可微的实函数。

若将以上方程等号右边变为函数，即：

我们就称这个方程为泊松方程（Possion方程）。与拉普拉斯方程一样，泊松方程是物理学中常见的偏微分方程。它可以被简写为。拉普拉斯方程和泊松方程在椭圆方程中很具有代表性。在本文的第三章中,这两种方程的二维形式被看做是亥姆霍兹方程的特殊变形,并用于验证求解方法的正确。

2.4差分法原理

接下来我们讨论Helmholtz方程的差分法。在大多数的数学问题中,差分法一直是一种具有良好精度的数值方法。它不仅拥有简单的特性,还拥有易于在计算机上实现的特点。差分法的基本思路,是把求解域离散为规则分布的网点,然后通过恰当的合并同类项,得到代数公式来近似原方程和解条件,最终得到原问题的近似解。

对于二维Helmholtz方程

我们设波数是常数，区域是矩形区域。我们先对自变量的取值范围进行分割：将范围内的轴等分为段，每段长为：；同理将轴分割成段，每段长为。

设为对的数值逼近，并且有。我们导出在方向和方向上对称的差分格式。满足条件的差分格式如下

在Helmholtz方程中，利用三点中心差分估计二阶导数：

因此，对自变量区间上的每一个内点，可以得到如下等式：

在区域上共有个内点，因此可以建立个方程。

当较大时，联立求解方程组较为困难，因此使用迭代方法可以较好的解决这个问题。迭代算法首先把边界条件变形为如下形式：之后在matlab程序中实现功能。

2.5有限元法原理

有限元法是求解Helmholtz方程的一种十分重要的常用方法。有限元法的大致原理，是将求解区域划分为数个单元,这些单元之间是通过有限个节点互连接着的,单元通常将其看作是不可变形的刚体,而单元之间的力通过节点传递,之后利用了能量原理建立起了各单元的对应矩阵,最后就形成了总体刚度矩阵。有限元法的求解过程如下：

1)把微分方程的问题转化为相应的变分问题；

2)将求解的区域按照一定的单元进行剖分，然后在每个单元上构造出相应的形函数，并形成相应的有限元空间；

3)把形函数带入到变分方程之中，组成有限原方程组，然后使用相应的解法算出数值解，并且对误差数据进行分析。

有限元法通常可以有多种方法推导而来，它的基础分为两个方面：变分原理和剖分插值。从第一方面看，变分原理即Ritz法与Galerkin法的变形，从第二方面看它则是差分方法的一种变形。这是两种方法取长补短而进一步发展的结果。Ritz法和Galerkin法是有限元法的基础，它们二者的基本原理如下：