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下面给出 定理的证明， 证明[3]: 因为 在 上连续，所以它有最大值与最小值，分别用 与 表示，现在分两种情况来分别讨论一下： (i)若 ，则 在 上必为常数
下面给出 定理的证明，
证明[3]: 因为 在 上连续，所以它有最大值与最小值，分别用 与 表示，现在分两种情况来分别讨论一下：
(i) 若 ，则 在 上必为常数，从而结论成立.
(ii)若 ，则因 ，使得最大值 与最小值 至少有一个在 上的某点 处取得，从而 是 的极值点.由条件（ii）， 在点 处可导，故由费马定理推得
补充：费马定理
若 在点 的某相邻定义域上有定义，且在点 可导，若点 为 的极值点，则一定有
1.2罗尔中值定理的应用
定理作为微分中值定理中三大定理之一，应用十分的广泛，可以用 定理来解决一些数学分析上的难题，像对于简单的方程往往很容易判断并求出方程根，但相对来说比较复杂的方程则不是那么容易判断方程根的存在情况，这就要另辟蹊径，通过相对约束条件比较宽松的 中值定理来判断根的存在性[4]，下面给出一个证明题：
例1 证明(1)方程 (这里 为常数)在区间 内不可能有两个不同的实根；
(2)方程 ( 为正整数， 、 为实数)当 为偶数时至多有两个实根；当 为奇数时至多有三个实根.