0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1024 2048 4096 8192 16284 32768 65536 131072 262144 524288

计算128×1024：先找到128对应的数字7,1024对应的数字10，由于7+10=17，再找到17对应的数字131072即为所求。

同理取q=3制作表2

6 7 8 9 10 11 12 13 14

729 2187 6561 19683 59049 177147 531441 1594323 4782969

计算4782969÷6561：先找到4782969对应的数字14，,6561对应的数字8，由于14-8=6，再找到6对应的数字729即为所求。

观察发现各表中数字奇偶一致，然而探测得到的实际数据奇偶不可能完全一致，为了符合实际运算需要，纳皮尔决定找到一个合适的数a，对于任意一个整数N（N＞0）都存在某个指数x使得这个正整数可以表示为N=ax.若a是整数，那么为使N是连续正整数,指数数列中必将插入一些分数项（且只取整数部分）来补充原对应幂级数中缺少的奇数项（或偶数项）。例如[21.7]=3,[22.4]=5.由于当时条件限制，人们还不能计算分数幂，所以上述方案行不通，皮纳尔只能令x为整数、改变a的取值来达到N连续的目的。一开始采用10为底，但x的变化范围为0~7时，N的取值范围已经是1~107，两者的增长明显不对称。之后纳皮尔反复验证，经过20多年坚持不断的计算终于选取了1-10-7作为最佳底数并且编制了对数表，发表在1614年出版的著作《论述奇妙的对数》[1]中。

对于，当x=n时，N0=（1-10-7）n；当x=n+1时，N=（1-10-7）n+1，有

∆N=N－N0=（1-10-7）n+1－（1-10-7）n=（1-10-7）n（-10-7）=（-10-7）N0

可见指数x每增加1，真数N的值便增加（-10-7）N0；反过来说x每减小1，真数N的值便增加10-7.N0为了消除了负次幂，把单位1平均分成107，以的长度重新定义单位1，则就取代了2，取代了3，...，-1便取代了原来的107，故x，=-10-7x，则

N===

此时对数的底就是，这一结果非常接近e。纳皮尔无心插柳，但遗憾的是他自己并未在意这个数字的特殊性，没有明确地把它记录下来，这个数字的发现是后人通过他的常用对数表的研究反推得到的。

历史上数e真正被发现还要归功于瑞士数学家雅各伯努利。1683年，他在探究复利问题时发现了一个有趣的结论。在名义年利率确定的前提条件下，不增加计息期数后按复利计所得本息和的增长存在上界。根据复利计，若本金为Y0，名义年利率为r，结算期数为n，那么一年后得到的本息和Y有.伯努利在他的《猜度术》[2]中假设Y0=1，r=1.那么当n=2，也就是6个月结算一次的情况下，银行提供的供利率为0.5，年终总收益为.当n=4，也就是3个月结算一次的情况下，银行提供的供利率为0.25，这种情况下年后可以攫取的总收益达到.以此类推，可以总结出一条通式公式，以期数n计算，一年以后你得到的累积资本额将会是你初始资本额的倍，即.同年，伯努利证明了n趋近于无穷时，数列的极限存在且介于2和3之间，这个级数的极限值就是后世所说的数e.