摘要:在解线性方程组时，我们常常会遇到一些方程组，因为系数矩阵条件数太大而导致收敛速度缓慢、解的误差太大，这种方程组被我们称为病态线性方程组。由于这种问题无法用简单的直接法和一般的迭代法解决，所以在本文中我们将通过用不同的方法解同一个病态问题。

在本文我们会讨论雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法、残量迭代法、主元加权迭代法等，并比较它们的优劣势，其中将着重介绍主元加权迭代法。主元加权迭代法可以通过参数的选取和系数矩阵的预处理来减轻原系数矩阵的病态，使数值解达到较好的收敛效果，并使解的精度较高。

本文通过对残量迭代法、雅可比迭代法、代数精度、高斯—塞德尔迭代法及主元加权迭代法的研究探讨，来寻找较好的解决病态线性方程组的办法。最后发现在解病态问题上，主元加权迭代法十分有效，可以起到很好的控制解的误差的作用，另外我们也发现别的迭代法在某些方面有很大的优点。

关键词：残量迭代法；雅可比迭代法；高斯—塞德尔迭代法；主元加权迭代法；

Abstract:In solving linear equations, we often encounter the fact that the coefficient matrix of a linear system is ill conditioned and the error of the solution is too large. This problem can't use simple, direct method and iterative method to solve. In this article we will discuss the pivot element weighting iterative method and the residue of iteration method which can better solve the problem.

By selecting parameters the pivot weighted iteration method can reduce the condition number of original matrix. The numerical solution obtained by this method can achieve better convergence effect and high precision.

In this article the residue iteration method, Jacobi iteration method, the Gauss - Seidel method and the pivot element weighting iterative method are discussed and want to find a better method for solving ill conditioned linear equations.

Keywords：residue iteration method ; Jacobi iteration method; Gauss - Seidel iterative method ; pivot weighted iteration method

目录

第一章绪论 1

1.1研究病态线性方程组解法的背景及意义 1

1.2病态线性方程组的解法的国内外研究现状 1

1.3论文主要工作 1

第二章线性方程组 2

2.1线性方程组的一般形式及定义 2

2.2线性方程组解的性质 3

2.3线性方程组解的矩阵表示 3

2.4线性方程组的直接解法 4

2.4.1高斯消元法 4

2.4.2高斯选主元素消去法 7

2.4.3矩阵三角分解法 11

2.5解线性方程组的迭代法 12

2.5.1雅可比迭代法 12

2.5.2高斯—塞德尔迭代法 13

2.6分析比较 14

第三章病态方程组及相关知识 14

3.1病态方程组的定义 14

3.2病态方程组的判别 15

第四章病态方程组的常用迭代法 15

4.1方程组的预处理 15

4.2残量迭代法 18

4.3雅可比迭代法在病态方程组的应用 20

4.4高斯—塞德尔迭代法在病态方程组的应用 21

第五章病态方程组的主元加权迭代法 22

5.1主元加权迭代法介绍 22

5.2主元加权迭代算法设计 25

5.3方法对比分析 26

结语 27

致谢 28

参考文献 29

第一章绪论

1.1研究病态线性方程组解法的背景及意义

对于病态方程组，向量或系数矩阵的一些细微的变化就可能会引起方程组的数值解产生巨大的变化，所以在解方程组之前我们要对方程组进行定性，即确定该方程组是良态的还是病态的，再根据方程组的具体性质来选择解方程组的具体方法，这样就可以起到确保解的准确性的效果。而判别方程组究竟是良态还是病态的我们有一些具体的方法，比如计算方程组的条件数，通过条件数的大小来判断该方程组是否病态。当方程组的系数矩阵条件数很大时，在求解病态线性方程组时可能就会遇到收敛速度很慢、数值解的精确度很低等问题。所以在解决病态方程组这一问题上，通过研究人员的不断努力，创造了加权迭代法来有效地提高数值解的精度。