摘  要:顺序统计量是概率统计中一类很重要的随机变量。对顺序统计量的研究，无疑会为我们对其他课题的研究带来便利。它的分布在随机过程（特别是泊松过程）和应用统计（如参数估计、假设检验等）中都有很广泛的应用。因此，为了能够更好的理解顺序统计量这一类随机变量，并且运用它来解决实际生活中的许多相关的问题，本文着重讨论了顺序统计量在几类分布中的形式，给出了在一些具体分布中推导出顺序统计量的概率分布，推导出了顺序统计量分布函数的一些相关结论，并在实例中进行分析，如将顺序统计量运用到可靠性工程理论中，来进行更加精确的分析；将顺序统计量运用到洛伦兹曲线中，来进行经济方面的分析；利用顺序统计量进行五数概括并绘制箱线图，来掌握样本的大致规模等等。

关键词：顺序统计量；箱线图；可靠性理论；洛伦兹曲线

used in stochastic processes (especially Poisson process) and applied statistics (for example, parameter estimation, hypothesis testing, etc.). Therefore, in order to understand a kind of random variables called order statistics better and use it to solve many related problems in real life, this paper focuses on the form of order statistics in several distributions, some probability distributions of order statistics are deduced in some concrete distributions, meanwhile, some related conclusions of order statistical distribution functions are deduced and analyzed in the examples, such as using order statistics in the reliability engineering theory for a more accurate analysis; using order statistics in the Lorenz curve for economic analysis; using order statistics for Five-number summary to draw a Box plot to master the approximate size of the sample and so on.

Keywords: order statistic; box-plot; reliability theory; Lorenz curve

目 录

第一章  绪论 1

1.1 研究背景 1

第二章  顺序统计量的概念及其在几类分布中的形式 2

2.1 顺序统计量的定义及相关概念 2

2.2 顺序统计量的性质 2

2.3 不同分布中顺序统计量的形式 4

2.3.1  均匀分布中顺序统计量的形式 4

2.3.2  指数分布中顺序统计量的形式 5

2.3.3  几何分布中顺序统计量的形式 6

2.3.4  柯西分布中顺序统计量的形式 7

第三章 顺序统计量的应用 9

3.1  顺序统计量的一些基本应用 9

3.1.1  最大顺序统计量与最小顺序统计量的运用 9

3.1.2  极差运用 9

3.1.3  极差的缺陷 11

3.1.4  经验分布函数的求解 11

3.1.5  五数概括与箱线图 12

3.2  顺序统计量在可靠性问题中的应用 13

3.2.1  可靠性理论概述 13

3.2.2  顺序统计量在可靠性问题中的典型应用——串、并联系统 14

3.3  顺序统计量在经济学中的应用——洛伦兹曲线 16

3.3.1  洛伦兹曲线的数学定义 16

3.3.2  洛伦兹曲线的图像 16

3.3.3  洛伦兹曲线在宏观经济学中的意义 17

结语 18

致谢 19

参考文献 20

第一章  绪论

1.1 研究背景  

顺序统计量是一类具有非常广的用途的重要的统计量[4]，被运用在概率统计的很多方面，比较典型的有假设检验、参数估计等等。然而，有很多在计算过程中需要用到顺序统计量的方法，例如截尾数据和不完全数据整体估计方法，通常要对顺序统计量的方差、协方差、均值等进行较为准确的计算。因为在计算顺序统计量的数字特征时，需要很高的精确度，并且其计算过程也通常较为繁琐，所以，早些时候，在样本量小于等于25的情况下，才能做到比较精确的计算。可是在实际问题中往往遇到的是远远大于25的样本容量，此时 成为实际应用方面的一个很明显的缺陷。1992年，运用递推的方法，N.Balakrishnan和P.S.Chan将极值分布顺序统计量数字特征（如均值）计算的样本容量大小扩展到30以内。程依明同样用递推的方法完成了样本容量 时Weibull分布BLUE系数的计算[10]。但是递推算法同样存在这一系列无法忽视的问题。1992年Rudolph S .Parrish采用高斯-勒让德法进行数值积分，得到正态顺序统计量在样本容量 时均值和方差以及 时协方差的计算结果。在本文中，首先给出了顺序统计量的一些基本的概念，然后针对顺序统计量在具体的分布中不同的情况，做出分析和推导并且得出顺序统计量在在几类分布中的形式以及具体的情况，最后再给出顺序统计量的常见的应用形式，如运用最大（最小）顺序统计量来解决生活中的一些问题；运用极差来作分析；给出顺序统计量在可靠性问题中的几种不同应用方式；给出顺序统计量在经济学中的运用的具体形式——洛伦兹曲线，并在最后做出总结。