摘  要：超几何函数无论是在数学还是物理领域都被广泛应用,利用超几何函数能够很方便地解决数学物理中的很多问题,目前,超几何函数的研究已经有了很大的进步,其中的主要研究成果包是应用合流超几何函数解H原子薛定谔方程.本文的主要工作是针对合流超几何函数的性质,高斯超几何函数,用超几何函数来证明全椭圆积分的一个替换公式,与超几何函数有关的一些函数等．给出了超几何函数在高等数学中的应用.

关键词:超几何函数；合流超几何函数；高斯超几何函数；全椭圆积分公式

The Application of Hypergeometric Function in Higher Mathematics

Abstract：The hypergeometric function is widely used in both mathematics and physics. Using the hypergeometric function can easily solve many problems in mathematics physics. At present, the study of hypergeometric functions has made great progress. The result package is to apply the confluent hypergeometric function to solve the H-Schrodinger equation. The main work of this paper is to characterize the properties of the confluent hypergeometric function, Gaussian hypergeometric function, and use the hypergeometric function to prove an alternative formula of the full elliptic integral, and the hypergeometric function. Some of the related functions etc. The application of hypergeometric functions in higher mathematics is given.

Key words: Hypergeometric function;Confluent hypergeometric function;Gaussian hypergeometric function;All elliptic integrals formulas.

目    录

摘 要 1

引言 2

1．超几何函数的基础 3

1.1 超几何函数的概念 3

1.2 超几何函数的性质 3

2．超几何函数的应用 6

2.1合流超几何函数的一些性质 6

   2.2用超几何函数证明全椭圆积分的一个替换公式   9

2.3 超几何函数在薛定谔方程中的应用 12

　  2.4 用合流超几何函数解其他问题 14

参考文献 20

致谢 21

超几何函数在高等数学中的应用

超几何函数的思想在很早之前就已经出现了.”超近些年来,许多中外的物理学家,数学家对超几何函数的研究都得到了很多的成果.除了超几何函数本身的研究,  对超几何函数在其他的函数如一些普通函数,特殊函数的应用以及物理学,统计学等领域都给出了很大的理论成果.

几何级数”一词最早是由约翰·沃利斯在他1655年的著作《无限》中使用的.而主要研究超几何级数的是瑞士数学家和物理学家莱昂哈德·欧拉,但第一次完整的,系统的对超几何函数的提出则是1813卡尔•弗里德里希•高斯提出的. 19世纪的时,对超几何函数的研究包括了在1836恩斯特·库默尔的研究,以及1857年伯恩哈德·黎曼的基本特征,主要是通过满足其微分方程来描述超几何函数的.黎曼证明了在复平面上检验的 的二阶微分方程,可以通过它的三个正则奇点来描述(在黎曼球面上).这些解是代数函数的情况是由赫尔曼·施瓦兹找到的.

引言

为了完成本次论文,我参阅了大部分文．其中,文献[１]介绍了超几何函数的概念.文献[２]指出超几何函数在量子力学上的应用,文献[３]主要给出了超几何函数在全椭圆积分的一个替换公式．在参考了这些文献的基础上,本文主要详细地讲了有关于超几何函数的一些应用.具体有用超几何函数证明全椭圆积分的一个替换公式；超几何函数在薛定谔方程中的应用.

本文我主要内容我把它分成三个部分,第一部分主要是介绍超几何函数,从而对超几何函数有一个初步的认识．第二部分主要讲的是超几何函数的应用,主要是包括了超几何函数的性质,在超几何函数在薛定谔方程中的应用等等.最后我还举了一些例子来详细的说明超几何函数对解决多种问题起到了深刻性的作用.