摘 要：了解数列极限对于理解和掌握数学分析的理论和方法是非常重要的,并且被广泛地应用于实际生活当中.本篇文章较为系统地论述了直接用定义证明极限及其数列极限唯一性定理的证明.简略地阐述了如何利用夹逼定理来证明极限,讨论了一类数列极限唯一性的证明和求其值的方法,通过举出历年的考研真题验证了提出的数列极限的证明方法是学习数学分析的一项基本的技能.

关键词：数列极限;单调性;有界无穷性

Discussion on Proving Method of Sequence Limit

Abstracts: It is very important for understanding and mastering the Theory and method of mathematical analysis to understand the limit of sequence. And the limit of sequence is widely used in the actual life. This paper systematically discusses the proof of direct use of the definition of limit and the limit uniqueness theorem of series. This paper briefly expounds how to use the pinch theorem to prove the limit, discusses the proof of the limit uniqueness of a class of series and the method of seeking its value, and confirms the proposed series limit by citing the real problem of the postgraduate exams over the years. The proof method is a basic skill to learn mathematical analysis.  

Key words: The Limit of a Sequence; Monotonicity; Bounded Infinity

目    录

摘 要 1

引言 2

1.预备知识 3

2.直接用定义证明极限 5

2.1 数列极限的几点说明 5

2.2数列极限的证明 5

3.利用数列极限唯一性定理证明极限 11

3.1直接法 11

3.2 反证法 12

4.利用夹逼定理来证明极限 13

结束语 15

致谢 17

数列极限的证明方法探讨

引言

数列的极限问题是我们学习的较为重要的一个部分,与此同时,极限的理论也是数学分析的基础之一.数列极限的问题作为数学分析的一个基础概念,它的建立与产生对后续的数列的学习有着非常重要的意义.

这篇论文有参考了很多的文献,特别是文献[1]中的预备知识,引领了本论文的开篇,对这次的论文写作起了很大的帮助,具有重大的意义.在参考文献[2]里面主要是参考了数列极限一致收敛的几种证明方法.这篇论文通过定义直接证明与利用已知数列极限及定理来证明极限,而且也结合了一些相关的知识点,得到了相应的一般推论和特殊的数列极限形式的证明方法.文献[4]到[9]通过了数列极限证明方法,可以很好的把数列极限与几何图形很好得结合了起来,这是由于两者的证明方法有相似或者说是类似的地方.文献[11]到[14],通过这几种参考文献中筛选出来了符合本文需要的一些内容,由此作为参考进行的相关写作.即使其中参考的内容互不相同,但是实质上的原理都是一样的,也就是万变不离其宗.

这篇论文主要写了数列极限的几种证明方法,首先从本论文的预备知识开始写起,预备知识有包括数列极限的基本定义以及数列极限的一些引理要点,数列的通项公式,数列的收敛,数列的发散,无穷小数列,无穷大数列的相关知识点,其中第二部分里面主要利用了已经知道的数列极限以及定理来加以证明极限,得到了一些相应的一般推论以及特殊的极限形式的一般推论.并且利用已经知道的数列极限的定义来证明极限,通过数列极限的唯一性定理证明极限以及利用夹逼性证明极限这三大块入手开始写作.详细介绍了数列极限的证明方法,提出了由实例描述与抽象定义相结合的教学方式,为学生解决这一难点提供了比较有效的方法.

1.预备知识

定义1  假设数列 的极限 的充分必要条件是:对于所有的任意的一个正整数 ,正整数 存在的情况下,使当 有 称数列 ,有一个定数 则称为是数列 的极限,并且可以写作 或者 .读作当 趋于无穷大时, 的极限等于 或 .（定义1通常又被叫做数列极限 定义.）