摘 要：本文主要讨论应用分离变量法求解微分方程.首先给出几种可以分离变量的方程,直接利用分离变量法求解；其次利用分离变量法讨论了一阶、二阶线性齐次和非齐次微分方程的求解,最后讨论分离变量法在偏微分方程求解中的应用,主要以一维弦振动方程的混合问题为例,具体给出利用分离变量法的求解过程.

关键词：分离变量法;变量代换;J-对称矩阵

Separation of variables method in the application of the differential equation

Abstract:In this paper, the solution of differential equations is discussed in this paper. Secondly, using the method of separation of variables discussed the first order and second order linear homogeneous and non-homogeneous equation solving, finally discuss the separation variable method in the application of partial differential equation, mainly as an example of the mixed problem of one dimensional string vibration equation, the specific process using the method of variable separation solutions are given.

Key words: method of separation of variables; variable substitution;

目   录

摘 要 1

引言 2

1.基本理论 3

2.分离变量法求解常微分方程 3

2.1求解几种形式的一阶常微分方程 3

2.2分离变量法求解二阶常系数线性齐次微分方程 6

2.3分离变量法求解二阶变系数线性齐次微分方程 7

2.4分离变量法求解二阶常系数线性非齐次微分方程 9

3.分离变量法求解偏微分方程 13

结束语 15

参考文献 16

致谢 17

分离变量法在微分方程求解中的应用

J - symmetric matrices

引言

   随着微积分的快速发展,大量的微分方程开始涌现出来,而微分方程在许多方面都有着广泛的应用,在物理学、力学等众多的学科中,他们的发展都与微分方程有着密不可分的关系,因此,对微分方程的研究也就变得十分的重要.而对于微分方程的研究非常重要的一部分,那就是微分方程的求解,常微分方程的主要解法有凑微分法、分离变量法和公式法,偏微分方程的主要解法有差分法、有限体积法和正交配置法等.本文主要讨论的就是利用分离变量法来求解微分方程,这种方法在解微分方程的过程中应用非常的广泛.因此,研究如何应用分离变量法来对微分方程进行求解就变得十分有意义.

目前,有许多文献都对如何应用分离变量法来求解微分方程进行了探讨,总结得出了很多宝贵的经验.其中文献[5]介绍了在一阶常微分方程中,几种可以直接化为变量分离方程然后求解的微分方程；文献[7]则通过一个实例,运用了三种含有分离变量思想的方法来求解，来探讨了变量分离方法在求解偏微分方程的定解问题中的应用；文献[9]通过运用分离变量法求解数物方程中带有齐次边界条件和非齐次边界条件的初边值问题来加强理解分离变量法在数物方程求解中的应用.

本文是在阅读了众多相关文献的基础上,加以作者对微分方程及分离变量法的理解和认识,首先定义了变量分离方程,然后又在微分方程的求解中,介绍了运用分离变量法求解几种形式的一阶常微分方程,其次探讨了在二阶线性齐次与非齐次微分方程求解中的应用,最后在偏微分方程中的一维弦振动问题求解中,给出了利用分离变量法的求解过程,通过以上的实例来具体说明了分离变量法在微分方程求解中的应用.