本文还证明用模数 与 表示的第一,第二两种全椭圆积分的一个替换公式.最后我们还利用这个换公式和高斯变换简便地处理了圆电流所在平面上的磁场分布问题以及氢原子的薛定谔方程求解问题.

1.超几何函数基础

1.1超几何函数的概念

超几何函数有时也可以说成广义超几何函数.在数学中,高斯超几何函数或普通超几何函数 是由超几何级数表示的一种特殊函数,有很多特殊函数都是它的特例或极限.一切具备三个正则奇点的二阶线性微分方程的解都可以用超几何函数表示.

合流超几何函数在量子力学和统计学中都有被广泛地应用到,包括合流超几何函数解非线性微分方程．文献[2]表明数学物理学中的许多问题可以借助此函数的零点位置性质来解决. 此外,人们利用合流超几何函数对零点集进行了一系列的研究.

1.2超几何函数的性质

1.2.1超几何函数 是由高斯级数定义的

在 ,以及其他地方解析延续.一般来说,超几何函数  时不存在,该分支通过在Z轴上引入一个从1到 的切割,也就是说, 的分支是 的主要分支．对于所有的c值

同样,对于的其他值,可以以类似的方式定义主体分支来进行解析.(除另有说明以外）, 和 在整个DLMF中均有假.定. 在收敛的圆上,

1当 ,绝对收敛2当  时,条件收敛和 排除在外.

3当 ,发散

1.2.2超几何函数的解析性质

的主分支是 的整个函数,如果 ,并且被排除在外,其他分支也是如此.作为 的多值函数 的解析是无处不在的,除了  的相同性质, 在当 由于对 和 的分析性质,涉及到参数的某些值没有定义的函数的公式中通常是合法的.特别是

例如,当 和 , 是一个多项式:如果我们使用这个解释即当  这个公式也是可以的．