小波理论研究现状

1807年，法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示，开创了傅立叶分析。傅立叶分析揭示了时域与频域之间内在的联系，反映了“整个”时间范围内信号的“全部”频谱成分，是研究信号的周期现象不可缺少的工具。建立在傅立叶分析基础上的采样定理和FFT技术奠定了现代数字化技术的理论基础。尽管傅立叶变换具有很强的频域局域化能力，但是它明显的缺点，那就是无法反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即FT在时域没有任何分辨率，无法确定信号奇异性的位置。 为了研究信号在局部时间范围内的频谱特征，1946年，Gabor提出了短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT），但是STFT的窗口宽度是固定的（和频率无关），这使得它无法同时兼顾信号的低频和高频特征，在分析时变信号时也有一定的局限性。另外，STFT的窗口函数或核函数不能提供一组离散正交基，所以给数值计算带来了不便，这也是导致STFT没有得到广泛应用的重要原因。

从傅立叶分析演变而来的小波分析的优点恰恰可以弥补傅立叶变换中存在的不足之处。小波变换是以牺牲部分频域定位性能来取得时-频局部性的折衷。小波变换不仅能够提供较精确的时域定位，还能提供较精确的频域定位。我们所面对的真实物理信号，更多的表现出非平稳的特性，小波变换成为处理非平稳信号的有力工具。与Fourier变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。

虽然小波变换有着很多的优点，解决Fourier变换不能解决的许多困难问题，被誉为“数学显微镜”，但是它在一维时所具有的优异特性并不能简单地推广到二维或更高维。对于二维图像信号，常用的二维小波是一维小波的张量积，它只有有限的方向，即水平、垂直、对角。方向性的缺乏使小波变换不能充分利用图像本身的几何正则性，不能最优表示含“线”或者“面”奇异的高维函数。 也就是说，小波是以“点”为单位捕捉图像的特征。但事实上，高维空间中最为普遍的还是具有“线”或“面”奇异的函数，自然物体光滑边界使得自然图像的主要组成单位并不是“点”，而是“线”和“面”，从而小波分析在处理二维图像时表现出很大的局限性。

小波理论发展趋势

传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而 Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，由此产生了小波分析。小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。小波变换与 Fourier 变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。