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显然，每个函数 在 上只有有限个间断点，是可积的。接下来看它的极限函数 ： 当 是无理数时，因为 ，所以此时极限函数 当 是有理数时，设 ，那么由函
显然，每个函数 在 上只有有限个间断点，是可积的。接下来看它的极限函数 ：
当 是无理数时，因为 ，所以此时极限函数
当 是有理数时，设 ，那么由函数列 的定义我们可以知道，当 时， ，所以此时极限函数
所以，我们可以得到 的极限函数 ，这是Dirichlet函数，在 上不可积。例2 定义函数 .
先来看它的极限函数： ， ,显然 在 上是可积的，并且 .然后我们先对 积分有： ，所以 ，因此可以得到 .
那么什么时候积分与极限运算的顺序可以交换呢？复旦大学欧阳光中等教授在他们编写的《数学分析》一书[3]中得到了积分号和极限号可交换的充分条件：
定理1 若函数列 在区间 上一致收敛于函数 ，且每一个 都是 上的连续函数，那么 在 可积，并且 .
证：因为函数列 在区间 上一致收敛于函数 ，且每一个 都是 上的连续函数，所以 是 上的连续函数即 在 是可积的，并且 使得当 时对于 都有 .从而 ，使得当 时有 即 ，因此 成立.