摘    要：数列极限是高等数学的重要组成部分，与微积分等基础概念关系紧密。数列极限的类型较为广泛、复杂，涉及到积分、函数等多方面知识内容。本文梳理了数列极限的基本概念，归纳了求数列极限的十三种方法：定义法、夹逼准则、单调有界必有极限、柯西收敛准则、结合海涅定理下求函数极限的方法、压缩映像原理、Stolz定理、级数性质、定积分定义法、对偶方法。并且通过经典例题加以说明，总结方法的注意事项。

Abstract: The limit of sequence is an important part of higher mathematics, and it is closely related to basic concepts such as calculus.The types of the limits of the sequence are more extensive and complex, involving the integration of points, functions and other aspects of knowledge content. This paper sorts out the basic concepts of sequence limits and summarizes thirteen ways to find the limits of the sequence: the definition method, the clamping criterion, the boundedness of monotonic bounds, the Cauchy convergence criterion, and the method of finding the limit of a function in conjunction with Heine's theorem. Compressed mapping principle, Stolz theorem, properties of series, definite integral definition method, dual method. And explain through the classic examples, summarize the precautions of the method.

关键词：数列； 极限； 方法

Keyword: sequence； limit； solution

目  录

1.引言 1

1.1研究背景 1

1.2研究目的及意义 1

2.数列的基本概念 1

2.1数列极限的定义 1

2.2数列极限的性质 1

3.数列极限两种常用方法 2

3.1定义法 2

3.2夹逼准则 3

4.利用极限存在准则求数列极限 4

4.1单调有界数列必有极限 4

4.2柯西收敛原理 5

5.利用函数性质求数列极限 5

5.1海涅定理 5

5.2两个重要极限的应用 6

5.3洛必达法则 7

5.4泰勒公式 8

5.5利用微分或积分中值定理 9

6.其他方法 10

6.1压缩映像原理 10

6.2 Stolz定理 11

6.3级数性质 12

6.4定积分定义法 13

6.5对偶方法 14

7. 结束语 16

参考文献 16

致谢 16

1.引言

  1.1研究背景

数列极限的概念是来源于求解某些现实问题的精确值。比如魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”来求圆周率，即依靠“极限”的思想，利用圆内接正多边形面积近似计算 的近似值。“割圆术”可以说是世界上公认的运用数列极限思想去解决数学问题的经典之作。十七世纪后，牛顿从力学入手建立微积分学，与此同时莱布尼茨从几何学的角度入手建立微积分学，两者微积分学有着异曲同工之处，即“极限”思想。到了十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯在前人的微积分学的基础上完成了严格的极限理论。最后在解决现实问题的过程中，才引出数列极限的概念。现如今，在自然科学、社会科学等领域中，数列极限已经是一个被广泛应用的数学概念，比如计算复杂的几何图形面积、求解方程等。

  1.2研究目的及意义

极限是高等数学中基本概念之一，求极限的思想方法在各个层次的高等数学都有所体现，并且延拓和深化出许多深层次的理论及应用，比如微积分学、级数等概念和思想。数列极限又是极限的一部分，然而我们所学的复旦大学数学系第三版《数学分析》上册里只是简单介绍了数列极限的概念性质以及几种常用的求数列极限方法。

本文总结归纳出求数列极限的常用方法，这有助于我们深入理解《数学分析》这门学科。首先，总结了数列极限的概念性质和十三种求数列极限的方法，这能够帮助学生理解数列极限的概念，并且熟练掌握求各种类型的数列极限方法，最后能将“极限”的思想运用到更为广泛的现实领域。其次，利用本文归纳的求数列极限的方法的过程中，巧妙结合了高等数学中相关的理论知识，比如定积分、级数等知识，不但达到了复习巩固的目的，而且还培养学生一题多解的多重思维能力。最后，通过本课题的研究，提高了自身的归纳总结能力以及科学探究精神。