摘 要:本论文主要研究微分方程中平衡点的稳定性.首先讨论了用李雅普诺夫稳定性定理来判断微分方程零解的稳定性,主要包括线性近似法、 函数法.其次,对于一阶和二阶微分方程中平衡点的稳定性又给出了直接法的判定,并探讨了微分方程稳定性的一些应用.

关键词: 自治系统;平衡点;稳定性;李雅普诺夫稳定性

Stability of equilibrium point in differential equations and its application

Abstract:This thesis mainly studies the stability of equilibrium points in differential equations. firstly, Lyapunov stability theorem is used to judge the stability of zero solutions of differential equations, mainly including linear approximation method and V-function method. secondly, the stability of equilibrium points in first-order and second-order differential equations is determined by direct method, and some applications of stability of differential equations are discussed.

Key words: Autonomous system; Equilibrium point;Stability;Lyapunov stability

目    录

摘 要 1

引言 2

1. 基本理论 3

2. 李雅普诺夫稳定性 3

2.1 线性近似法判定微分方程平衡点稳定性 5

2.2  函数法判定微分方程平衡点稳定性 8

2.3 应用 11

3. 直接法判定稳定性 13

3.1 判断一阶微分方程平衡点的稳定性 13

3.2 判断二阶微分方程平衡点的稳定性 14

3.3 应用 15

结束语 17

参考文献 18

致谢 19

微分方程中平衡点的稳定性及其应用

引言

很多地方都涉及微分方程,例如解决和导数有关的问题,并且微分方程还能够描述自然科学和社会科学中的大多数问题,谈到微分方程的最早的数学家是惠更斯和莱布尼茨.詹姆斯伯努利的等时曲线问题,它是用微积分方法解决.弦震动问题和 体问题是早期分析史上最重要的两个问题来源.微分方程的稳定性是非常重要的问题,若微分方程不稳定,那么方程的适用意义将降低.判断方程零解的稳定性的一个简便方法是求出方程的解析解,但是很多微分方程解析解难以求出,这样的话稳定性模型就要被用到,稳定性模型的一个独特的特点就是不求微分方程的解,其研究平衡状态的稳定性的方法是利用稳定性理论并辅以一些具体的方法.

学者们钻研的热点包括微分方程中平衡点的稳定性.例如文献[4]运用直接法讨论了一阶和二阶微分方程.微分方程稳定性理论对讨论动态模型随某种因素的变化趋势非常有效,对经济学、生物学、社会学中某些问题的研究有着重作用.[5]从微分方程稳定性基本知识出发,探讨自治和非自治系统,以及一阶和二阶方程平衡点及稳定性,并举例说明对于复杂的方程,很难求其解.可从方程出发讨论解的稳定性.

在这种情况下,本论文主要以Lyapunov稳定性定理为基础,通过线性近似法、 函数法和直接法判断微分方程中平衡点的稳定性,这里的平衡点指零解.给出了相关例题,探讨了一些应用.

1. 基本理论

定义1[1]  .其一阶微分方程,形如 .

定义2[1]  的实根 是 的平衡点.

定义3[1]   域中的任意值满足 ,则称 它稳定,如果不满足则不稳定.

定义4[1] 二阶 两个一阶方程组

定义5[1]  的实根为 ,由实根组成的点 即为(2)的平衡点.

定义6[1] 对于平衡点 ,若所有可能解 ,满足 ,

,则称 稳定,否则称 不稳定.

定义7 若 是自治微分方程,则使得 的 值就称为平衡点或静止点.且因变量在点上不会产生改变, 静止,是以要求的是使 为 的 值,而不是 为 .

定义8 稳定性是指在很小的扰动下研究微分方程的解的性质.就是指如果在很小扰动下系统的某个状态的变化很小,则微分方程是稳定的,否则是不稳定的.