设报童每天的订购量为，期望利润为。那么，

在表达式（1）中，第一个因子为报童销售报纸的营业收入，第二个因子为当购进的报纸太多时未售出报纸的残值，第三个因子为报童采购报纸的总成本。

根据表达式（1），利润可以表示为

由表达式（2）可以看出，利润为订购量的函数。对表达式（2）求导，得：

由于，可知表达式（4）。那么，报童的利润就是采购量的数。那么，令表达式（3）等于零，即可得出最优解，即为能够使得报童每天销售报纸的期望利润最大化的最佳订货批量。

2.2贝叶斯信息更新理论概述

2.2.1贝叶斯定理

贝叶斯定理是英国学者贝叶斯于18世纪发明的一个有助于概率计算和风险决策的定理，其实质上是有关于条件概率、边际概率以及联合概率的陈述[33]。贝叶斯定理的内容如下：

设互斥且构成一个完整的事件，事件为的一个事件，其中，则贝叶斯公式为：

（5）

其中，概率称为先验概率，它是在事件发生之前已经给出的。概率称为后验概率，它是在事件发生后得出的。不难发现，后验概率中结合了先验概率以及新观察到的信息，相较于根据经验指定的先验概率更为合理、准确。

2.2.2贝叶斯信息更新

假设产品的市场需求是一个随机变量，记为。在高度不稳定的产品市场中，考虑“双重不确定性”，故假设产品市场需求的某个参数也具有随机性，记该参数为，其概率密度函数为。已知当给定时，的条件分布为。由此，根据条件概率的定义，可以计算出的先验分布为：

（6）

随后根据销售季节中所收集到的需求信息，对参数的分布进行更新，得出参数的后验分布为：

（7）

由此，根据参数的后验分布对市场需求的分布进行更新，即：

（8）

上述贝叶斯信息更新过程的叙述，是本文利用需求信息更新预测这一研究内容的基础。在实际应用过程中，往往需要经过多次的信息更新才能得出更精确的结果，而这同时也意味着计算繁琐程度的提高。下面，本文介绍几种常见的共轭先验分布，以降低实际应用中多次信息更新的计算繁琐程度。

所谓共轭先验分布[34]，即某一参数的先验分布密度函数与其后验分布密度函数的函数形式相同，比如：的先验分布密度函数为，其后验分布密度函数的函数形式与的函数形式相同，那么就是的共轭先验分布。下面的表2.1给出了一些常见的共轭先验分布[35,36]。

表2.1常见的共轭先验分布的分布函数

选择合适的的分布函数以及参数的先验分布函数，能够大大降低多次信息更新带来的计算复杂程度，便于得出更为准确的结果。

2.2.3正态分布下的贝叶斯信息更新

在多变的市场环境下，零售商在进行采购决策前需要对产品的顾客需求情况进行相应的了解。假设市场需求服从正态分布，即；其中，参数也服从正态分布，即。此处，用和来表示的布函数，用来表示参数的概率密度函数。

那么，在进行第一次采购决策前，零售商对于第一个销售周期内的市场需求的信念为，其概率密度函数为。

随后在第一个销售周期开始后与第二个销售周期开始前，零售商观察到第一个销售周期中的销售消息，它是来自总体分布的一个样本，其密度函数为。由此可以得出，联合概率密度函数为

那么，根据表达式（5）可以算出的后验分布为：记，，则，即有。

由此，零售商可以利用参数的后验分布去更新市场需求的分布，有：

3需求预测更新下的双源采购策略研究

3.1问题及模型说明

3.1.1问题描述